Computer-Algebra-Systeme (CAS)

Computer-Algebra-Systeme sind Programme bzw. Geräte, die nicht nur mit Zahlen rechnen, sondern auch Termumformungen ausführen und dabei symbolisch mit Variablen rechnen können.
Ein CAS kann auch als elektronische Formelsammlung dienen, zum Beispiel für Ableitungsregeln oder Lösungsformeln für Gleichungen und Gleichungssysteme.

Laut Fachanforderungen ist der ständige Einsatz eines CAS anstelle des wissenschaftlichen Taschenrechners als mathematisches Werkzeug möglich. Das ist eine weitreichende Entscheidung für den Unterricht bis hin zum Abitur. Derzeit haben sich ca. 10% der Gymnasien und Gemeinschaftsschulen mit Oberstufe dafür entschieden. Auch ein ständiger Einsatz in der Sek. I ist möglich.

Ein zeitweiliger Einsatz des CAS ist sowohl in Sek. I als auch in Sek. II möglich ohne zuvor eine derartige Grundsatzentscheidung für den Unterricht treffen zu müssen.

Als Beispiel für einen ertragreichen zeitweiligen Einsatz des CAS wird im nachfolgenden Beitrag vorgeschlagen, in einzelnen Übungsphasen das CAS zu nutzen um Äquivalenzumformungen beim Lösen linearer Gleichungen zu üben. Allen Schulen steht dafür beispielsweise das CAS von GeoGebra kostenlos zur Verfügung. Anders als der Funktionsplotter oder das DGS von GeoGebra befindet sich dessen CAS noch in der Entwicklung. Es ermöglicht schon jetzt zahlreiche weitere Anwendungen im Unterricht.

Im zweiten großen Beitrag auf dieser Seite werden Hinweise zum ständigen Einsatz des CAS gegeben.

Noch eine dritte Möglichkeit sei genannt: Eine Reihe von Lehrkräften nutzt ein CAS für die eigene Unterrichtsvorbereitung, möchte es aber nicht unbedingt als mathematisches Werkzeug im Unterricht einsetzen. In allen genannten Einsatzbereichen erleichtert ein CAS das mathematische Arbeiten enorm.

 
Abbildung 1 und 2: Eine anspruchsvolle Rechnung kann mit einem CAS aussagekräftig formuliert werden.

 

Äquivalenzumformungen üben mit dem CAS

Beim Lösen linearer Gleichungen treten erfahrungsgemäß viele unterschiedliche Arten von Fehlern auf. Die Abbildung zeigt zwei typische Beispiele.

In diesem Beitrag wird vorgeschlagen, in Partnerarbeit Äquivalenzumformungen mit dem Computer-Algebra-System (CAS) zu üben. Diese Art, das CAS zu nutzen, entkoppelt zwei verhängnisvoll miteinander verwobene Fehlerquellen voneinander:

  • die Idee für eine nicht zielführende Äquivalenzumformung
  • die fehlerhafte Ausführung dieser Äquivalenzumformung

Häufig verhindert die Kombination dieser beiden Fehlerquellen im Zusammenspiel mit unzulänglichen Kontrollstrategien, einen falsch ausgeführten Umformungsschritt zu erkennen.

Um Missverständnisse zu vermeiden: Es geht hier nicht darum, die Gleichung mit dem CAS als black box über den SOLVE-Befehl lösen zu lassen. Vielmehr geht es darum zu üben, jeweils eine geeignete Äquivalenzumformung zu erkennen. Die fehlerfreie Ausführung dieses Umformungsschrittes übernimmt während der Übungsphase das CAS. Erst nach einer fehlerfreien Ausführung ist es möglich zu beurteilen, ob der vorgeschlagene Umformungsschritt zielführend war oder nicht.

Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, die Umformungen Zeile für Zeile graphisch nachzuvollziehen, indem man die Terme, die als lineare Funktionen interpretiert werden, einfach in das Graphik-Fenster zieht. Die Lösung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes, die y-Koordinate des Schnittpunktes gibt den Wert des linken und des rechten Terms an, wenn man die Lösung einsetzt ('Probe').

Die Partnerarbeit hat folgende Form:

  • Lernpartner/in 1 gibt ausschließlich Anweisungen für die nächste Äquivalenzumformung.
  • Lernpartner/in 2 führt ausschließlich mit Tastatur und Maus die Anweisungen von Lernpartner/in 1 aus.
  • Nach dem Lösen einer Gleichung werden die Rollen getauscht.

Wie wirkt sich die Ausführung der Äquivalenzumformungen mittels CAS auf die beiden Lösungsversuche der Gleichung im obigen Beispiel aus? Die Abbildungen zeigen, wie der Vorgang mit dem CAS von GeoGebra ausgeführt wird.

Die Äquivalenzumformung von Zeile 2 nach Zeile 3 ist selbstverständlich ungeeignet, aber das CAS führt sie richtig aus. Lernpartner/in 1 hat vermutlich nicht die Gleichung aus Zeile 3 erwartet. Der kognitive Konflikt zwischen dem erwarteten und dem tatsächlichen Aussehen der Gleichung hilft, den ungeeigneten Umformungsschritt zu erkennen; er wird nicht durch den typischen Rechenfehler überdeckt.

Hier ist die Äquivalenzumformung von Zeile 2 nach Zeile 3 geeignet und wird vom CAS korrekt ausgeführt. Lernpartner/in 2 hätte möglicherweise vergessen, im linken Term auch die 7 durch 2 zu dividieren und eine andere Gleichung erwartet. Das korrekte Ausführen der Umformungsschritte hilft, beim Lösen von Gleichungen überlegt vorzugehen; das Üben wird nicht durch typische Rechenfehler erschwert.

Als Aufgabenmaterial zum Üben kann eine 'Aufgabenplantage' aus einem Lehrbuch mit einer großen Anzahl von Gleichungen verwendet werden. Es sei noch auf das folgende Kalenderblatt Mathe_364 verwiesen, in dem das schrittweise Lösen von Gleichungen mit GeoGebra für Schülerinnen und Schüler erklärt wird. Die Musterlösung umfasst zwei Möglichkeiten für eine Probe.

Jedes Computer-Algebra-System seit Derive erlaubt diese Art des schrittweisen Lösens von Gleichungen.

  • Die Gleichung wird in Klammern gesetzt.
  • Der Befehl für die Äquivalenzumformung wird neben die Klammer geschrieben. Dies entspricht dem üblichen senkrechten Strich, hinter dem der beabsichtigte Umformungsschritt ('Kommentar' oder 'Kommando') notiert wird.
  • Für den nächsten Umformungsschritt muss die Gleichung nicht erneut eingetippt werden, sie wird durch Kopieren aus der darüberliegenden Zeile in die Klammern übertragen.

Die Abbildungen zeigen diesen Vorgang mit den beiden anderen an Schulen gebräuchlichen Computer-Algebra-Systemen. Dazu wurde die Emulationssoftware des jeweiligen Herstellers genutzt. Die Abildungen sollen zugleich demonstrieren, wie eine Visualisierung im Unterricht aussehen könnte. Anders als in diesem stehenden Bild können dabei die Tastenbedienung und das Display "live" gezeigt werden.

 

Mathematikunterricht mit dem CAS

Die nachfolgende Beiträge geben jeweils einen kurzen Überblick über

CAS-Technologie

Für die Schule sind derzeit drei Systeme relevant:

  • Casio Class Pad 400 (Handheld) sowie die funktionsgleiche Software für PCs und mobile Endgeräte
  • TI-Nspire CAS (Handheld) sowie die funktionsgleiche Software für PCs und mobile Endgeräte
  • das CAS von GeoGebra für PCs und mobile Endgeräte

Alle drei Systeme bieten u. a.

  • ein CAS,
  • einen Funktionsplotter,
  • ein DGS,
  • wesentliche Stochastik-Funktionen mit Visualisierungen,
  • eine Tabellenkalkulation, die auch symbolisch rechnen kann und auf die Variablen- und Funktionsdefinitionen des Algebra-Blattes zurückgreift.

Diese Verknüpfung von CAS, TKS und DGS innerhalb einer Datei ist das entscheidende Alleinstellungsmerkmal, das Computer-Algebra-Systeme im Vergleich zu Taschenrechnern oder dem Einsatz von PC-Programmen oder Apps für einen einzelnen Anwendungsweck aufweisen.

Dabei verfügt GeoGebra über die beste Graphik, unterliegt aber systembedingt Einschränkungen im CAS. Die Variablen x und y sind mit dem Koordinatensystem der Graphik gekoppelt. In dem in den Abbildungen dargestellten Beispiel kann GeoGebra zwar die Ableitungen und ihre Nullstellen berechnen, aber es kann z. B. die Funktionswerte an den Extremstellen nicht in allgemeiner Form symbolisch berechnen und bietet bei Gleichungen keine anderen Lösungsvariablen als x an. Aufgrund derartiger Einschränkungen ist GeoGebra nicht für die Schleswig-Holsteinischen CAS-Zentralabituraufgaben für Gymnasien und Gemeinschaftsschulen mit Oberstufe zugelassen.


Abbildung 3: symbolisches und numerisches Rechnen beim Einsetzen in die Funktion und ihre Ableitungen

 

Argumente pro und contra CAS

Einige der Fähigkeiten eines CAS bieten moderne wissenschaftliche Taschenrechner mittlerweile ebenfalls, z. B. numerisches Lösen von Gleichungen oder numerische Berechnung des Wertes bestimmter Integrale (ohne einen Funktionsterm einer Stammfunktion anzugeben). Im Vergleich zum WTR bietet ein CAS darüber hinaus unter anderem folgende Möglichkeiten:

  • symbolisches Rechnen
  • Funktionsplotter
  • eine übersichtlichere Darstellung umfangreicher Rechnungen
  • umfangreichere Editier- und Speichermöglichkeiten

Das entscheidende Alleinstellungsmerkmal des CAS ist die Verknüpfung von CAS, TKS und DGS innerhalb einer Datei. Für Visualisierungen muss nicht zusätzlich auf spezialisierte PC-Programme oder Apps zurückgegriffen werden. Die jederzeitige Möglichkeit eines schnellen und einfachen Darstellungswechsels zwischen Term, Graph und Tabelle ist ein wesentlicher didaktischer Vorteil des CAS.

Diese separate tabellarische Übersicht nennt weitere Aspekte.

 

Bereitstellung und Nutzung der Technologie

Für jede Schülerin und jeden Schüler muss jederzeit im Unterricht und zu Hause die Möglichkeit bestehen, ein individuell verfügbares Gerät zu nutzen, auf dem eigene Arbeitsergebnisse gespeichert werden können. Die Schulen haben derzeit drei Konzepte zur Bereitstellung des CAS:

  • GeoGebra ist kostenfrei und läuft auf PCs sowie auf mobilen Endgeräten unter jedem Betriebssystem. Schulen mit Tablet-Klassen nutzen GeoGebra oder die Tablet-Version von TI-Nspire oder Casio.
  • Die Handhelds von Casio und von Texas Instruments kosten gut 100 €. Einige Schulen bieten die Geräte zur Miete an.
  • Andere Schulen erwarten den Kauf der Geräte und organisieren eine Gebrauchtgeräte-Vermittlung.

 

didaktische und methodische Grundsätze für den CAS-Unterricht

Folgende Argumente sprechen gleichermaßen für den WTR und für das CAS:

  • mehr verfügbare Unterrichtszeit für mathematische Anwendungen
  • weniger Zeitaufwand für das Einüben und das Ausführen von Rechenverfahren
  • weniger Hindernisse durch Flüchtigkeits- und Rechenfehler
  • kein Kapitulieren vor interessanten Fragestellungen, bei denen die Modellierung ("der Ansatz") zugänglich, deren Lösung aber durch Umfang und Schwierigkeitsgrad der Rechnungen unerreichbar ist

Das CAS weitet diese Vorteile über das numerische Rechnen hinaus auf die Algebra und das graphische Arbeiten mit Funktionen aus. Bestimmte Fragestellungen lassen sich praktisch nur mit einem CAS bearbeiten, zum Beispiel "Gibt es zwei Stellen im Abstand von 5 Längeneinheiten, an denen die Funktion jeweils den gleichen Wert hat?" Man löse einmal bei einer hinreichend komplizierten Funktion die Gleichung f(x+5) = f(x). Die genannte Ausgangsfrage stellt sich aber gerade bei interessanteren Modellierungsaufgaben und den entsprechenden Funktionen.

Hinsichtlich der Komplexität unterscheidet sich das CAS erheblich vom WTR. Rudimentäre Rechnungen mit dem WTR auszuführen ist eventuell auch ohne jegliche Einführung in die Bedienung denkbar, erscheint aber bei einem CAS praktisch ausgeschlossen. Am Anfang des CAS-Unterrichts ist deshalb eine ausführliche Einweisung in die Gerätebedienung unabdingbar.

  • Die Lehrkräfte selbst müssen das CAS kompetent bedienen können.
  • Die Fachschaft sollte eine Liste unbedingt erforderlicher Bedienungstechniken zusammenstellen. Im Unterricht muss deren Beherrschung vermittelt und auch eingefordert werden.
  • Die Einführung sollte im inhaltlichen Zusammenhang einer geeigneten Aufgabe erfolgen, die verschiedene Möglichkeiten wie das Algebra-Blatt, die Graphik und die Tabellenkalkulation anspricht. Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler dabei eigenständig arbeiten und die Möglichkeiten des CAS an einer konkreten Aufgabe erproben. Ungünstig ist dagegen das schrittweise Nachvollziehen reiner "Trockenübungen", die lediglich einzelne technische Möglichkeiten isoliert ohne einen inhaltlichen Zusammenhang zeigen sollen.
  • Die Bedienung sollte im Kontext der Bearbeitung einer konkreten Aufgabe mit der Emulation des CAS über einen Beamer bzw. Großbildschirm demonstriert werden.
  • Einige Schulen gestalten die erste Einführung im Rahmen eines Fachtages und mit Paten aus höheren Jahrgangsstufen.
  • Alle Schülerinnen und Schüler müssen das Gerät selbst bedienen. Beim Zuschauen lernt man wenig.
  • Bei der Bearbeitung einer einzelnen Aufgabe herrscht dagegen durchaus Werkzeugwahl: händisch, algebraisch mit dem CAS, mit der Graphik usw.
  • Mehr noch als beim WTR muss im Zusammenhang mit dem CAS-Einsatz besprochen werden, wie eine Lösung im Heft dokumentiert werden soll.
  • Das Präsentieren von Lösungen durch Schülerinnen und Schüler mit der Emulation hat einen hohen Stellenwert.

Das folgende Beispiel zeigt eine Anleitung für erste Schritte mit dem TI-Nspire. Da bei diesem Gerät im Funktionsplotter die Namen der Funktionen f1, f2 usw. lauten, sollte eine Konvention für die Bezeichnung von Ableitungen eingeführt werden, im Beispiel fa1, fa2 (a wie Ableitung).

Abschließend eine Anmerkung zur Balance zwischen dem hilfsmittelfreien Arbeiten und dem Werkzeuggebrauch. Mit dem Einsatz digitaler Hilfsmittel ist stets die Verpflichtung verbunden, das Kopfrechnen sowie "händische" Rechnen mit einfachen Zahlen weiterhin zu pflegen. Das gilt für das CAS in besonderem Maße. Eine zeitliche Reihenfolge "Bei der Einführung neuer mathematischer Begriffe und Verfahren zunächst Grundvorstellungen aufbauen, erst danach Einsatz der digitalen Werkzeuge" ist jedoch nicht  zwingend, denn das CAS bietet mit dynamischen Visualisierungen ausgezeichnete Möglichkeiten, den Lernprozess zu unterstützen. Der Behauptung, das händische Rechnen sei besser für das Gewinnen von Einsichten, muss widersprochen werden. Es hängt vielmehr von der Wahl des Aufgabenmaterials ab, ob Einsichten gewonnen werden können oder ob ausschließlich mit im Prinzip austauschbarem Zahlenmaterial und nichtssagenden Ergebnissen gerechnet wird.

Literatur

Digitale Medien im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufe – Einsatzmöglichkeiten, Umsetzung und Wirksamkeit

 

Bestimmungen zum unterrichtlichen Einsatz des CAS

  • Der Einsatz von Computer-Algebra-Systeme (CAS) im Unterricht ist zulässig.
  • Über einen zeitweiligen Einsatz entscheidet die Lehrkraft.

  • durchgängiger CAS-Unterricht

  • Die ständige Nutzung von CAS-Rechnern anstelle von wissenschaftlichen Taschenrechnern setzt entsprechende Schul- und Fachkonferenzbeschlüsse voraus.
  • Ein derartiger Beschluss gilt dann jeweils für alle Schülerinnen und Schüler der Mathematiklerngruppe oder der Jahrgangsstufe.
  • Die Lehrkraft muss eine angemessene Einführung in die Bedienung des CAS sicherstellen.
  • Auf den Aufbau von Grundvorstellungen zu Berechnungen sowie auf das Bewahren von Fertigkeiten im hilfsmittelfreien Rechnen mit einfachen Zahlen ist in besonderem Maße Wert zu legen

  • Sek. I

  • Bei Leistungsnachweisen sind in der Sek. I die Vorgaben für den CAS-Einsatz in der schriftlichen Abiturprüfung sinngemäß zu beachten.
  • Im Hinblick auf die zentralen Abschlussprüfungen ist in der Sek. I zu gewährleisten, dass die Schülerinnen und Schüler zusätzlich über ausreichende Fertigkeiten im Umgang mit dem wissenschaftlichen Taschenrechner verfügen, da im MSA eine CAS-Nutzung nicht zulässig ist.

  • Sek. II

  • In der Oberstufe ist mit diesem Beschluss die für alle Lernenden verbindliche Entscheidung verbunden, im Abitur speziell für CAS entwickelte Prüfungsaufgaben zu bearbeiten.
  • Über die Entscheidung für durchgängigen CAS-Unterricht ist die Fachaufsicht im für Bildung zuständigen Ministerium zu informieren, spätestens bis zum Eintritt der Schülerinnen und Schüler in die Qualifikationsphase.
  • Die parallele Verwendung des WTR und des CAS als Hilfsmittel ist im Abitur unzulässig.
  • Bei Klassenarbeiten in der Sek. II sind die Vorgaben für den CAS-Einsatz in der schriftlichen Abiturprüfung in ihrer jeweils gültigen Fassung zu beachten.
  • In Klausuren und in der Abiturprüfung müssen angemessene technische Vorkehrungen gegen Täuschungsversuche mit Hilfe der Technologie getroffen werden ("Klausurmodus").

siehe: Fachanforderungen Mathematik, Seite 16 (Sek. I) sowie Seite 50 (Sek. II).

 

Links zu CAS-Unterrichtskonzepten und Materialien

Das Istron-Projekt befasst sich mit Realitätsbezügen beim mathematischen Modellieren: Aufgaben, Einsatz der Aufgaben im Unterricht, Lehrerfortbildung.

Das Lehrerfortbildungsprojekt T³ (Teachers Teaching with Technology) fördert den sinnvollen Einsatz von Technologie im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht.

Das Projekt "ClassPad-MATHE" stellt Unterrichtsmaterialien (Materialien, Aufgaben, Tutorien, Hinweise, eActivities) zum Einsatz des ClassPad für Lehrkräfte aller Schularten sowohl für „Einsteiger“ als auch für Fortgeschrittene zur Verfügung.

Das Mathematik-Lehr-Netzwerk (MaLeNe) bietet Konzept und Materialien sowie Fortbildungen und Foren an. Ziel ist, methodisch-didaktische Konzeptionen und entsprechende Aufbereitungen bei der Umsetzung zu unterstützen. Das Projekt ist am Lehrstuhl für Mathematik V (Didaktik der Mathematik) an der Julius-Maximilians-Universität Würzburg angesiedelt und wird in einer zunächst für drei Jahre angelegten Partnerschaft mit der Firma CASIO durchgeführt.