Äquivalenzumformungen üben mit dem CAS
Beim Lösen linearer Gleichungen treten erfahrungsgemäß viele unterschiedliche Arten von Fehlern auf. Die Abbildung zeigt zwei typische Beispiele.
In diesem Beitrag wird vorgeschlagen, in Partnerarbeit Äquivalenzumformungen mit dem Computer-Algebra-System (CAS) zu üben. Diese Art, das CAS zu nutzen, entkoppelt zwei verhängnisvoll miteinander verwobene Fehlerquellen voneinander:
- die Idee für eine nicht zielführende Äquivalenzumformung
- die fehlerhafte Ausführung dieser Äquivalenzumformung
Häufig verhindert die Kombination dieser beiden Fehlerquellen im Zusammenspiel mit unzulänglichen Kontrollstrategien, einen falsch ausgeführten Umformungsschritt zu erkennen.
Um Missverständnisse zu vermeiden: Es geht hier nicht darum, die Gleichung mit dem CAS als black box über den SOLVE-Befehl lösen zu lassen. Vielmehr geht es darum zu üben, jeweils eine geeignete Äquivalenzumformung zu erkennen. Die fehlerfreie Ausführung dieses Umformungsschrittes übernimmt während der Übungsphase das CAS. Erst nach einer fehlerfreien Ausführung ist es möglich zu beurteilen, ob der vorgeschlagene Umformungsschritt zielführend war oder nicht.
Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, die Umformungen Zeile für Zeile graphisch nachzuvollziehen, indem man die Terme, die als lineare Funktionen interpretiert werden, einfach in das Graphik-Fenster zieht. Die Lösung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes, die y-Koordinate des Schnittpunktes gibt den Wert des linken und des rechten Terms an, wenn man die Lösung einsetzt ('Probe').
Die Partnerarbeit hat folgende Form:
- Lernpartner/in 1 gibt ausschließlich Anweisungen für die nächste Äquivalenzumformung.
- Lernpartner/in 2 führt ausschließlich mit Tastatur und Maus die Anweisungen von Lernpartner/in 1 aus.
- Nach dem Lösen einer Gleichung werden die Rollen getauscht.
Wie wirkt sich die Ausführung der Äquivalenzumformungen mittels CAS auf die beiden Lösungsversuche der Gleichung im obigen Beispiel aus? Die Abbildungen zeigen, wie der Vorgang mit dem CAS von GeoGebra ausgeführt wird.
Die Äquivalenzumformung von Zeile 2 nach Zeile 3 ist selbstverständlich ungeeignet, aber das CAS führt sie richtig aus. Lernpartner/in 1 hat vermutlich nicht die Gleichung aus Zeile 3 erwartet. Der kognitive Konflikt zwischen dem erwarteten und dem tatsächlichen Aussehen der Gleichung hilft, den ungeeigneten Umformungsschritt zu erkennen; er wird nicht durch den typischen Rechenfehler überdeckt.
Hier ist die Äquivalenzumformung von Zeile 2 nach Zeile 3 geeignet und wird vom CAS korrekt ausgeführt. Lernpartner/in 2 hätte möglicherweise vergessen, im linken Term auch die 7 durch 2 zu dividieren und eine andere Gleichung erwartet. Das korrekte Ausführen der Umformungsschritte hilft, beim Lösen von Gleichungen überlegt vorzugehen; das Üben wird nicht durch typische Rechenfehler erschwert.
Als Aufgabenmaterial zum Üben kann eine 'Aufgabenplantage' aus einem Lehrbuch mit einer großen Anzahl von Gleichungen verwendet werden. Es sei noch auf das folgende Kalenderblatt Mathe_364 verwiesen, in dem das schrittweise Lösen von Gleichungen mit GeoGebra für Schülerinnen und Schüler erklärt wird. Die Musterlösung umfasst zwei Möglichkeiten für eine Probe.
Jedes Computer-Algebra-System seit Derive erlaubt diese Art des schrittweisen Lösens von Gleichungen.
- Die Gleichung wird in Klammern gesetzt.
- Der Befehl für die Äquivalenzumformung wird neben die Klammer geschrieben. Dies entspricht dem üblichen senkrechten Strich, hinter dem der beabsichtigte Umformungsschritt ('Kommentar' oder 'Kommando') notiert wird.
- Für den nächsten Umformungsschritt muss die Gleichung nicht erneut eingetippt werden, sie wird durch Kopieren aus der darüberliegenden Zeile in die Klammern übertragen.
Die Abbildungen zeigen diesen Vorgang mit den beiden anderen an Schulen gebräuchlichen Computer-Algebra-Systemen. Dazu wurde die Emulationssoftware des jeweiligen Herstellers genutzt. Die Abildungen sollen zugleich demonstrieren, wie eine Visualisierung im Unterricht aussehen könnte. Anders als in diesem stehenden Bild können dabei die Tastenbedienung und das Display "live" gezeigt werden.