Handreichung Mathematik

Die Schülerinnen und Schüler:

• erstellen und interpretieren einfache Diagramme und Graphen.

• nutzen ein Tabellenkalkulationsprogramm zum Auswerten und Darstellen von Daten.

• charakterisieren numerische Zuordnungen anhand qualitativer Eigenschaften des Graphen.

• identifizieren und charakterisieren spezielle Funktionen.

• verstehen das Lösen von Gleichungen als Nullstellenbestimmung von geeigneten Funktionen und umgekehrt.

• lösen graphische Probleme durch Lösen und Aufstellen von Gleichungen.

• wechseln situationsgerecht zwischen den Darstellungsformen Tabelle, Graph, Text und Term.

• beschreiben für ausgewählte Funktionsklassen die Veränderung des Graphen von f beim Übergang von zu , c ⋅ f(x), , f(c ⋅ x), , .

• modellieren mit allen Funktionsklassen Realsituationen.

• entscheiden sich für eine geeignete Strategie zur Lösung einer gegebenen Gleichung.

• nutzen den Taschenrechner zum Lösen von Gleichungen und linearen Gleichungssystemen.

• stellen aus inner- und außermathematischen Situationen Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme auf, lösen sie und interpretieren ihre Lösungsmenge.

• modellieren mit geeigneten Gleichungen Realsituationen.

Exponentialfunktionen:

• Graphen

• exponentielles Wachstum

• Funktionalgleichung

• Monotonie

• Achsenschnittpunkt

• Verdoppelungszeit, Halbwertszeit

• asymptotisches Verhalten

• Bedeutung der verschiedenen Parameter in der Funktionsgleichung

• Probierverfahren zum Lösen von Gleichungen

• gedankliches Anwenden der Umkehroperation beim Lösen von einfachen Gleichungen

• Äquivalenzumformungen

• Lösungen von Gleichungen

• Exponentialgleichungen

• Logarithmen

Diagramme und Graphen sollen sowohl per Hand als auch computerunterstützt erstellt werden. Auch die Möglichkeiten des wissenschaftlichen Taschenrechners zur automatischen Erstellung von Wertetabellen sollen genutzt werden.

Speziell bei der Exponentialfunktion f(x) = c ⋅ a^x sollte die Funktionalgleichung  f(x + 1) = f(x) ⋅ a in Analogie zur Dreisatzrechnung mit Operatoren an Tabellen verdeutlicht werden. Logarithmen sollen nur als Notation für die Lösungen von Exponentialgleichungen eingeführt werden; es ist keine Behandlung der Logarithmusfunktion intendiert.

Logarithmen sollen nur als Lösungen von Exponentialgleichungen eingeführt werden. Im Sachzusammenhang, zum Beispiel Verdoppelung eines Kapitals, kann auch ein Probierverfahren als Lösungsstrategie angemessen sein.

Zum Einstieg bietet es sich an, dass die Schüler eine vermeintlich vernetzende Wiederholung durchführen. Hierbei kann jeder Kontext eines exponentiellen Wachstums gewählt werden, wobei es aufgrund der schon bekannten Zinseszinsrechnung empfohlen wird auf diese zurückzugreifen, um auf den Funktionscharakter hinzuweisen: Arbeitsblatt 1 und Lösungen 1 . Die Schüler sollten vorerst nur die Aufgaben 1 bis 4 bearbeiten und die Ergebnisse anhand der GeoGebra-Datei im Plenum gesichert werden. Gegebenenfalls ist es hilfreich, die Funktionsgleichung gemeinsam mit den Schülern mit Hilfe einer Permanenzreihe zu erarbeiten (siehe Abbildung). Abschließend sollte in der Klasse diskutiert werden, wo überall ein exponentielles Wachstum zu beobachten ist, wobei die Aufgabe 5 des Arbeitsblattes hierfür eine gute Grundlage bietet.

Wie bereits im vorangegangenen Block können die Schüler durch gezielte Aufgabenstellungen der grundlegenden Erkenntnis von selbst näher kommen: Arbeitsblatt 2 und Lösungen 2 . Zur Sicherung bietet sich ebenfalls eine GeoGebra-Datei an, um dann am Ende des Blocks zusammenfassende Sätze gemeinsam zu entwickeln, welche in der Vokabelheft übernommen werden können:

• Bei einer Exponentialfunktion ist die Variable im Exponenten. Die allgemeine Gleichung lautet: oder .
• Der Vorfaktor bestimmt mit dem Parameter über den Schnittpunkt mit der Ordinate.
• Der Parameter bestimmt gegen welchen Wert die Exponentialfunktion läuft. gibt den Wert der konstanten Asymptote an.
• Eine Asymptote ist eine Funktion deren Wert niemals ganz durch die betrachtete Funktion erreicht und dennoch das Verhalten der Funktion in einem Zahlenbereich der Variable beschreibt.

Um die Lerngruppe weiter zu unterstützen kann ein weiteres Arbeitsblatt 2a und Lösungen 2a verwendet werden, wobei es sich hierbei um die Analyse von Graphen handelt. Oftmals werden die Lerngruppen in Klasse 10 neu zusammen gesetzt, sodass aus den ehemaligen 9. Klassen eine sehr heterogene Lerngruppe entsteht, bei der auch nicht immer gewährleistet ist, dass der verbindliche Unterrichtsinhalt nach den Fachanforderungen als Vorwissen vorhanden ist. Dieses Arbeitsblatt kann auch zur Differenzierung verwendet werden.

Um das Wissen aus dem vorherigen Block zu reaktivieren, kann die GeoGebra-Datei nochmals verwendet werden, um auf die wesentlichen Wesensmerkmale von exponentiellen Funktionen einzugehen, da die Schüler Graphen Funktionsgleichungen zuordnen sollen oder gar die Funktionsgleichung im Ganzen ablesen sollen: Arbeitsblatt 3 und Lösungen 3 .

Als Differenzierung nach oben kann für die schnelleren Schüler das Arbeitsblatt 3a und Lösungen 3a ausgeteilt werden. Das Arbeitsblatt besitzt Aufgaben mit dem Operator „Zeige“, welcher oftmals zu selten vorkommt oder aber aufgrund der mathematischen Erziehung der Schüler unter dem Tisch gekehrt wird, da die Einführung dieses Operators für die Lehrkraft arbeitsintensiv sein kann. Auch zielen die Aufgaben auf mathematische Argumentation ohne konkrete Zahlen ab, sodass bis zur gemeinsamen Sicherungsphase für die beiden Arbeitsblätter die Schüler weiterhin ihre Kenntnisse vertiefen können ohne dabei repetitive Aufgaben zu bearbeiten.

Vor Beginn der Erarbeitung sollte nochmals durch den Lehrer verbalisiert werden, dass es in der Mathematik Aufgaben gibt bei denen es nicht um das Prinzip „Möglichst viele Aufgaben gleicher Art in kurzer Zeit ausrechnen zu können“ geht, sondern dass oftmals in einer einzigen Aufgabe mehr Erkenntnisse schlummern können als in Aufgabenplantagen. Auch sollte betont werden, dass es nicht schlimm ist, wenn eine Lösung nicht ad hoc gesehen wird und man auch Aufgaben erstmal überspringen kann. Generell sollte den Schüler an dieser Stelle vermittelt werden, dass das wichtigste sei nicht aufzugegben und über selbst die vermeindlich gefundene Lösung zu überprüfen.

Beim Einstieg zu diesem Block kann die GeoGebra-Datei verwendet werden, die die Schüler mithilfe der Lehrkraft zu dem Punkt führen soll, dass die Funktion und die Umkehrfunktion achsensymmetrisch gespiegelt werden an der Funktion , wobei natürlich die Eindeutigkeit der Funktion oder Umkehrfunktion nicht verletzt werden darf. Sobald die Schüler die noch unbekannte Logarithmusfunktion als Graph beschrieben und die wichtige Wechselwirkung von Funktion und Umkehrfunktion in den Grundzügen verinnerlicht haben, kann die Hinführung zur Umkehrfunktion der Exponentialfunktion beginnen: Die Schüler sollten zu nächst die neue Vokabel aufnehmen

• Die Umkehrfunktion hebt die Funktion auf, sodass nur noch das Argument der Funktion übrig bleibt: . (Beispiel: )

und anschließend mit der Bearbeitung des Arbeitsblatt 4 und Lösungen 4 .

Dieses Arbeitsblatt sollte von den Schülern komplett bearbeitet und die Lösungen in der Klassengemeinschaft besprochen werden, da erst so die Notwendigkeit für jeden Schüler für das Einführen einer neuen Umkehrfunktion, den Logarithmus, deutlich wird. Das bedeutet, dass dieser Block je nach Lerngruppe auch etwas ausgedehnt werden sollte.

Dieser Block ist im Kern als fakultativ anzusehen, aber dennoch zu empfehlen, da die Schüler hier die Analogie zwischen Potzengesetzen und Logarithmengesetzen erkennen können. Des Weiteren ist die gemeinsame mathematische Argumentation und Herleitung eine gute Förderung der Abstraktionskompentenz der Schüler, während ihnen dabei auch deutlich wird, dass solche Gleichungen nicht vom „Himmel fallen“. Aus diesem Grund sollte sich die Lehrkraft die Zeit nehmen und auch diesen Block mit den Schülern bestreiten. Hierfür steht zu Beginn die Herleitung der Logarithmengesetze, welche anschließend als Übersichtsblatt zu den Logarithmengesetzen ausgeteilt werden sollte, um das Abschreiben der Gesetze und der Herleitung zu verhindern, da dies an dieser Stelle lediglich eine Verschwendung der Ressource Zeit wäre.

Mit dem Ausdruck der Logarithmengesetzen sollten danach noch einige Aufgaben bestritten werden, sodass das Arbeiten mit den Gesetzen geübt wird: Arbeitsblatt 6 und Lösungen 6 . Der Umgang mit den Logarithmengesetzen trainiert das systematische Vorgehen und das Analysieren des jeweiligen Terms der Schüler, sodass diese Regelmäßigkeiten und Auffälligkeiten schneller erkennen können.

Zu diesem Zeitpunkt im Unterricht empfiehlt sich eine Überprüfung des Lernstandes der Schüler Mustertest 1 und Lösungen , da ab diesem Zeitpunkt vor allem noch vertiefende Übungen mit wachsender Komplexität warten. Anschließend kann die Übungsphase begonnen werden: Arbeitsblatt 7 und Lösungen 7 .

An dieser Stelle sollte nochmal betont werden, dass nicht jeder Schüler am eines Blocks alle Aufgaben beendet haben muss, sondern in seinem individuellen Tempo auch Aufgaben mit in die anderen Blöcke nehmen kann und gegebenfalls sogar sollte. Nach der Auswertung des Tests sollte vom Lehrer versucht werden, dass die schwachen Schüler auf den Stand gehoben werden, dass sie die Aufgaben dieses Blocks ohne größere Hilfestellung bearbeiten können.

Nachdem in zwei Blöcken ausgiebig geübt wurde, sollte nochmals der Lernstand überprüft werden: Mustertest 2 und Lösungen . Anschließend sollte die Schüler ihr erlerntes Wissen reflektieren, indem sie sich einer Selbstauskunft anhand des Kompetenzrasters unterziehen und ein Lernplakat erstellen.



Sollte danach noch Zeit vorhanden sein, könnten die fehlenden Aufgaben der vorherigen Blöcke weiter bearbeitet werden.

An dieser Stelle der Unterrichtseinheiten sollten die Schüler ihr Wissen über die Exponentialfunktionen an herausfordernden Aufgaben vertiefend anwenden. Hierzu besteht zum einen die Möglichkeit in einer individuellen Geschwindigkeit in einer Einzelarbeit zu arbeiten ( Arbeitsblatt 9 und Lösungen 9 ) und zum anderen Aufgaben in einer Gruppe zu bewältigen. Bei den Gruppenaufgaben wäre es angebracht die Klasse per Zufall in sechs Gruppen zu teilen, sodass jeweils zwei Gruppen eine Aufgabe bearbeiten. Das Ziel der Gruppenaufgaben ist dadurch gegeben, dass die Schüler am Ende der Bearbeitungszeit die Aufgabe vor der Klasse kurz vorstellen, wobei auch hier der Zufall über den Präsentator entscheiden könnte. Die zweite Gruppe mit der Aufgabe kann die Ergebnisse dann verifizieren, gegebenenfalls Fragen stellen oder Widerspruch zu den Ergebnissen einlegen ( Arbeitsblatt 10 und Lösungen 10 ). Wie der vorgeschlagene zeitliche Rahmen schon suggeriert, sollten die Schüler für diese Aufgaben erstmal nicht zu viele Hilfestellungen bekommen, damit diese sich nach und nach an solch langwierigen Aufgabenstellungen gewöhnen können. Mit voranschreitender Zeit sollten auch mehr Tipps gegeben werden und pro Unterrichtsstunde immer ein kleiner Erfolg auch für die Hilfestellungen sichergestellt werden.

An dieser Stelle ist noch einmal explizit zu erwähnen, dass sich hier für ein Arbeitsblatt entschieden werden sollte, da die Bearbeitung beider Blätter deutlich zu viel Zeit in Angriff nehmen würde. Es wurden keine expliziten Lösungswege in den Lösungen bereit gestellt, da diese nur zum Vergleich der Ergebnisse dienen sollen. Auch können die Schüler bei diesen Aufgaben auf Recherche zurückgreifen, da gegebenenfalls auch Begründungen aus anderen Fächern einfließen könnten.

Zu diesem Zeitpunkt empfiehlt sich ein schriftlicher Leistungsnachweis (Klassenarbeit), welcher wie folgt aussehen könnte: Musterklassenarbeit und Lösungen . Diese Klassenarbeit sollte noch vor Beendigung der Unterrichtseinheit korrigiert werden, sodass in der Klassengemeinschaft eine Berichtigung in einem Schüleraustausch stattfinden kann, sodass sich die Schüler die Aufgaben nochmals gegenseitig erklären können. Je nach Klassengemeinschaft und Fehlerkultur innerhalb der Klasse können die Aufgaben auch unterschiedlich berichtigt werden.

Dieser Block ist vollständig fakultativ. Das Arbeitsblatt 12 und Lösungen 12 kann auch zu jedem Zeit nach dem ersten Test als Differenzierung nach oben in die Klasse gegeben werden. Die Aufgaben sollten sich von den Schülern selbst erarbeitet werden und hat den positiven Effekt, dass sie nebenbei noch andere Skalierungen kennenlernen. Sollten die Schüler bei diesem Arbeitsblatt nicht von selbst auf einen Ansatz stoßen, kann auf das Vorgehen der ersten Stunden zu diesem Thema verwiesen werden als markante Punkte verschiedener Graphen analysiert wurden und so eine Regelmäßigkeit entdeckt wurde.