Handreichung Mathematik

Natürliche Zahlen

Verbindliche Vorgaben der Fachanforderungen: Natürliche Zahlen

Hinweise

Die Grundvorstellungen zum Rechnen werden im Grundschulunterricht aufgebaut. Häufig kommt die Division zu kurz.

Die Phasen der Unterrichtseinheit weichen vom üblichen Verlauf ab, da Inhalte aus dem Grundschulunterricht aufgegriffen werden, um sie zu vertiefen und zu systematisieren.

Benötigtes Vorwissen

• gerade und ungerade Zahlen unterscheiden
• Vorgänger und Nachfolger bestimmen
• Zahlen am Zahlenstrahl ablesen und eintragen
• Zahlen aus einer Stellenwerttafel ablesen und in Worten schreiben
• Zahlen bis zum nächsten Zehner/Hunderter/Tausender ergänzen
• in Schritten zählen
• Zahlen der Größe nach ordnen
• Sachaufgaben lösen
• 1×1 Reihen
• Zahlen runden
• halbschriftliche Addition und Subtraktion durchführen

Sprachschatzarbeit

Quelle: www.ko-si-ma.de/upload/downloads/hru5/MW5_Sprachschatzarbeit_150421.pdf

Schreiben und Sprechen: Die folgenden themenspezifischen Wörter und Satzbausteine sollten Lernende (dauerhaft) aktiv nutzen können (z.T. aus alten Kapiteln):

Lesen und Zuhören: Die folgenden themenspezifischen Wörter und Satzbausteine sollten Lernende verstehen, aber
nicht unbedingt selbst nutzen können:

Möglicher detaillierter Ablauf einer Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit geht es vor allem um Diagnostik. Es geht darum zu überprüfen, wie gut die Grundvorstellungen zum Stellenwertverständnis, Operationsverständnis und zu den Rechenverfahren aufgebaut wurden. Wissenslücken sollen geschlossen und Fehlvorstellungen beseitigt werden. Um individuell auf die Bedürfnisse der Schülerinnen und Schüler eingehen zu können, empfiehlt sich die Arbeit mit einem Arbeitsplan. Zum Lösungsabgleich eignen sich Partnervergleiche oder Lösungsblätter.

1. Natürliche Zahlen

Hinweise

Zahlverständnis

Stellenwertverständnis: Ein sicheres Stellenwertverständnis ist für die Orientierung im Zahlenraum, auf dem das Rechnen und das Verständnis von Zahlen aufgebaut ist, fundamental. Die inverse Sprechweise von Zahlen im deutschen Sprachraum, die der Schreibrichtung entgegenläuft, stellt eine wesentliche Hürde dar.

1. Nicht standardisierte Zahldarstellungen in der Stellentafel: Gewohnte Strukturen der Stellenwerte aufheben, um das Verständnis der Zahldarstellung in der Stellenwerttafel anzusprechen. Beispiel: Trage 3 Tausender, 5 Hunderter, 37 Zehner und 9 Einer in die Stellenwerttafel ein.
2. Die Ziffer 0 im dezimalen Stellenwertsystem
3. Bündeln und Entbündeln
4. Addition in der Stellenwerttafel

Typische Fehler

Fehlerquellen am Zahlenstrahl:

– Schwierigkeiten bei unterschiedlichen Skalierungen
– Weiterzählen in Einer-/Zehnerschritten ohne Berücksichtigung der bereits eingetragenen Zahlen

2. Natürliche Zahlen addieren und subtrahieren

Fachsprache

• addieren zu, Addition
• subtrahieren von, Subtraktion
• Summand, Wert der Summe
• Minuend, Subtrahend, Wert der Differenz

Hinweise

In Spiel- und Alltagssituationen wird die Addition mit „etwas hinzufügen/dazutun“ in Verbindung gebracht, während die Subtraktion mit „etwas wegnehmen/abgeben/vermindern“ oder Ähnlichem in Verbindung gebracht wird. Um ein umfassendes Operationsverständnis zu entwickeln, müssen zu jeder Rechenoperation verschiedene Grundvorstellungen aufgebaut werden, die mit unterschiedlichen Auffassungen zur Operation verknüpft sind (vgl. Fromme, Wartha & Benz 2011). Nach Leuders & Prediger (2016, 67 ff.) erkennt man ein hinreichendes Operationsverständnis nicht etwa an einem fehlerfreien Beherrschen schriftlicher Rechenverfahren, sondern vor allem daran, dass sicher entschieden wird, wann welche Operation anzuwenden ist . Im Fokus steht für den Grundvorstellungsaufbau das Addieren als Hinzufügen und Zusammenfügen und das Subtrahieren als Wegnehmen und Ergänzen.

Bei der Subtraktion gibt es drei zentrale Grundvorstellungen: a) Abziehen b) Vergleichen c) Ergänzen.

Es muss davon ausgegangen werden, dass die Fachwörter „addieren“ und „subtrahieren“ weniger vertraut sind, als die umgangssprachlichen Bezeichnungen „Plusrechnen“ und „Minusrechnen“. Im Grundschulunterricht der Klasse 1 und 2 werden Rechenoperationen altersgerecht umgangssprachlich eingeführt. In Klasse 3 und 4 werden die Fachwörter dann zwar vermittelt, allerdings werden diese dann nicht konsequent weiter genutzt, um das Fachvokabular nachhaltig aufzubauen. Für die unterrichtliche Kommunikation ist eine kompetente Nutzung der Fachwörter wichtig.

Typische Fehler

Fehlerhafte Vorstellung zur Bedeutung des Gleichheitszeichens (=): Mögliche Ursache könnten Kettenaufgaben aus dem Grundschulunterricht sein: mathematisch falsches Beispiel: 3 + 4 = 7 + 2 = 9 – 4 = 5 mögliche Alternative (Punkte): 3 + 4 . 7 + 2 . 9 – 4 . 5 Beim Rechnen mit Klammern zerlegen die Schülerinnen und Schüler durch Anwendung des Gleichheitszeichens Aufgaben in mehrere Teilaufgaben. Hierbei kommt es zu fehlerhaften Äquivalenzumformungen der Terme (siehe Abbildung). Rechenbäume sind zusätzlich geeignete Mittel.

Bei der schriftlichen Addition kann es zu Fehlern kommen, wenn die Zahlen nicht stellengerecht untereinander geschrieben werden. Des Weiteren empfiehlt es sich, unter den Zahlen eine Kästchenreihe für die Überträge frei zu lassen, um vorzubeugen, dass Überträge vergessen/übersehen werden.

Bei der schriftlichen Subtraktion kann es wie bei der Addition durch unsauberes, nicht stellengerechtes untereinander Schreiben zu Fehlern kommen. Auch der falsche Umgang mit dem Übertrag zählt zu den häufigsten Fehlern. Zudem wird die Reihenfolge Minuend minus Subtrahend ignoriert und umgedreht, um jeweils die kleinere von der größeren Ziffer abzuziehen. Bei der schriftlichen Subtraktion gibt es zwei gängige Rechenverfahren. Das Ergänzungsverfahren ist dem Abziehverfahren vorzuziehen. https://kira.dzlm.de/zu-den-verfahren-der-schriftlichen-subtraktion

3. Natürliche Zahlen multiplizieren und dividieren

Hinweise

Nach Leuders & Prediger (2016, 67 ff.) steht für den Grundvorstellungsaufbau des Multiplizierens das Zählen gleicher Bündel (fortgesetzte Bündelung) im Fokus. Der Zusammenhang der Addition und Multiplikation als wiederholte Addition ist jedoch teilweise nicht klar. Räumlich-simultane Vorstellungen am Rechteckfeld (Flächeninhaltsverständnis) sowie zeitlich-sukzessive Vorstellungen der fortgesetzten Addition am Zahlenstrahl können zur Veranschaulichung der Multiplikation genutzt werden.

Das Multiplikationsverständnis ist wichtige Voraussetzung für die Grundvorstellung der Division als Aufteilen und Verteilen. Des Weiteren ist das Multiplikationsverständnis Voraussetzung für Bruchrechnung, Prozentrechnung, funktionale Zusammenhänge, Dreisatz oder Termumformungen.

Es muss davon ausgegangen werden, dass die Fachwörter „multiplizieren“ und „dividieren“ weniger vertraut sind, als die umgangssprachlichen Bezeichnungen „mal-nehmen“ und „geteilt-rechnen“.

Fachsprache

• multiplizieren mit, Multiplikation
• Faktor, Wert des Produkts
• dividieren durch, Division
• Dividend, Divisor, Wert des Quotienten

Typische Fehler

• SuS haben kein Verständnis für die Hintergründe der Multiplikation aufgebaut (stellengerechtes Addieren, Schwierigkeiten mit Überträgen)
• Weitere Fehlerquelle: Nullen in Faktoren