Bruchrechnung
Verbindliche Vorgaben der Fachanforderungen: Bruchrechnung (L1: Zahl)
Die Schülerinnen und Schüler …
∙ wenden einfache zahlentheoretische Kenntnisse an.
∙ stellen Zahlen auf verschiedene Weisen situationsgerecht dar und wechseln zwischen diesen Darstellungsformen.
∙ begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen.
∙ Teiler und Vielfache
∙ gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache
∙ Teilbarkeitsregeln
∙ Verknüpfung von Teilbarkeitsregeln
∙ Primzahlen
∙ Primfaktorzerlegung
rationale Zahlen:
∙ Bruch/Bruchzahl
∙ Zahlengerade, Anordnung
∙ erweitern und kürzen
∙ Bruchzahlen als Größen, Anteile, Verhältnisse und Operatoren
∙ abbrechende und einfache periodische Dezimalbrüche
∙ Stellenwerttafel
Es wird empfohlen, der Bruchrechnung keine umfangreiche, separate Unterrichtseinheit zur Teilbarkeitslehre vorzuschalten.
Zahlentheoretische Fragen können im Zusammenhang mit der Bruchrechnung behandelt werden oder als Anwendung in Sachsituationen.
Ein auf Verständnis angelegtes Operieren mit Vielfachen oder Teilern ist der algorithmischen Bestimmung von ggT und kgV vorzuziehen.
Das schrittweise Kürzen ist beim praktischen Rechnen in der Regel einfacher als eine separate Bestimmung des ggT als Kürzungszahl und sollte daher bevorzugt werden.
Im fünfjährigen Bildungsgang der Sekundarstufe I entscheidet die Fachschaft, ob als erste Zahlbereichserweiterung die positiven Bruchzahlen oder die ganzen Zahlen eingeführt werden.
Hinweise
Durch die Einführung der Bruchzahlen erfolgt die Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen zu den (positiven) rationalen Zahlen (ℚ von „Quotient“). Dabei stellen rationale Zahlen das Verhältnis zweier ganzer Zahlen zueinander dar. Dieses neue mathematische Denken muss gut geschult werden, da es zu diversen Umbrüchen bei a) den Zahlvorstellungen und b) den Vorstellungen zu den Rechenoperationen kommt. Da mehrere Grundvorstellungen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen für den Bereich der Bruchzahlen nicht mehr gelten, ist die Gefahr fehlerhafter Übertragungen aus N groß. Es kann zu Verständnisschwierigkeiten und Fehlvorstellungen kommen. Bruchzahlen könnten abstrakt und Rechenregeln unverstanden bleiben, wenn diese nur auswendig gelernt werden.
Beispiele: 1/4 ist nicht der Nachfolger von 1/3, 1/2 nicht der Vorgänger von 1/3, 1/2 und 2/4 beschreiben die gleiche Zahl (Eindeutigkeit der Zahldarstellung/-schreibweise nicht gegeben), Multiplizieren kann in Q verkleinern, statt vergrößern wie in N, Dividieren kann in Q vergrößern, statt verkleinern wie in N.
Um diesen Fehlvorstellungen vorzubeugen, empfiehlt sich ein Vorgehen in zwei Phasen:
In der 1. Phase, der inhaltlich-anschaulichen-Phase, gilt es tragfähige Grundvorstellungen zu den Bruchzahlen zu entwickeln. Ein langsames und anschauliches Vorgehen ist zu empfehlen. Mit Ausnahme der Brüche 1/2 und 1/4 sind die Vorkenntnisse zu den Stammbrüchen gering. Erst wenn die Bedeutungen von Zähler und Nennen verstanden wurden, können anschauliche Vorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen entwickelt werden. Ein besonderes Augenmerk sollte auf den zwei Grundvorstellungen liegen.
Zwei Grundvorstellungen
- Bruch als Teil eines Ganzen
- Bruch als Teil mehrerer Ganzer
In der 2. Phase, der formal-regelhaften Phase, erfolgt schließlich die formale Bruchrechnung mithilfe von Regeln (Merkhefteinträge).
Bruchzahlaspekte
- Maßzahlaspekt (z.B. 1/2 kg, 1/4 h)
- Relationsaspekt (z.B. „Der menschliche Körper besteht zu 3/5 aus Wasser.“)
- Operatoraspekt (z.B. „2/3 von 6 kg sind 4 kg.“)
- Skalenwertaspekt (z.B. Tankskala, Zahlenstrahl)
- Quotientenaspekt (z.B. Maßstab, Wahrscheinlichkeitsrechnung)
Typische Fehler
- Bruchteile werden als feste natürliche Zahlen verstanden, z.B. 1/2 = 50
- bei der Addition von Brüchen wird fehlerhaft Zähler plus Zähler und Nenner plus Nenner gerechnet
- Vermischung der Rechenregeln zum Erweitern und Multiplizieren, ebenso wie beim Kürzen und Dividieren
Benötigtes Vorwissen
- Grundlagen der Multiplikation und Division kennen
- Zeiten, Längen, Gewichte (bzw. je nach Material) in der nächstkleineren Einheit angeben
Literaturempfehlungen
Didaktik der Bruchrechnung: Friedhelm Padberg (bruchrechenunterricht.de)
(Microsoft PowerPoint – Pr\344sentation) (berlin-brandenburg.de)
Unterrichtsmaterialien für die anschauliche Bruchrechnung
• Tangram
• EXI: Das zerlegte Rechteck
• Rechtecksformen
• Bruchquadrate
• Geobrett
• Cuisenaire-Stäbe
• Kreisscheibe
1. Motivation der Zahlbereichserweiterung
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| Thema / Inhalt | Einstiegsproblematik: „Wie können mehrere Pizzen und Schokoladen gerecht auf mehrere Personen aufgeteilt werden?“ – SuS teilen 3 Pizzen auf 4 Personen auf – SuS teilen zwei Schokoladentafeln auf 5 Personen auf – Diskussion: „Welche Möglichkeiten der Aufteilung gibt es?“, „Welche Schwierigkeiten können auftreten (Ausblick Verfeinern)? – Einführung der Bruchzahlschreibweise – Durchführung der Standortbestimmung . |
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| Hinweise | auf genaue Sprechweisen achten: „20 von 20 Stücken Schokolade sind das gleiche wie 20/20, das ist eine ganze Tafel Schokolade.“ |
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| Material | AB Gerechtes Aufteilen (pdf farbig, pdf s/w) |
2. Enaktiver Aufbau der Grundvorstellung zu Teil eines Ganzen
2.1. SuS führen Füllversuche mit Sand und z.B. Baby- /Marmeladengläsern durch
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| Thema / Inhalt | – SuS entwickeln Aufteilungs-Strategien (Umschütten und Vergleichen) – SuS stellen verschiedene Brüche her – SuS stellen Bruchreihen durch Verfeinern her – SuS ordnen Brüche (nach Größe und Bruchreihe) – SuS vergleichen dieselbe Bruchzahl bei unterschiedlichen Glasgrößen – SuS stellen Normgläser her (ein Glas, an dem verschiedene Skalen für 1/3, 2/3, 3/3 = 1 ebenso Sechstel, Viertel, Fünftel dargestellt sind) |
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| Hinweise | Füllversuche: SuS erfahren enaktiv, dass die gleiche Menge Sand für ein Halbes oder zwei Viertel gebraucht wird (Grundvorstellung Kürzen und Erweitern) Brüche als Anteil sind abhängig von der Größe des Ganzen. |
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| Material | AB Füllversuch – Sand – Gläser (15 Stück) – Folienstift |
2.2. SuS falten Brüche mit Papierstreifen
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| Thema / Inhalt | – SuS erhalten jeweils drei Papierstreifen und sollen Viertel, Drittel und Fünftel herstellen – SuS beschreiben Faltvorgänge – SuS verfeinern Papierstreifen zu Bruchreihen – SuS kleben Papierstreifen in ihr Heft, markieren auf jedem Papierstreifen die einzelnen Bruchteile, beschriften diese |
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| Hinweise | Papierstreifen: Es bietet sich an Papierstreifen in der Länge 10 cm = 100 mm zu wählen. 1/2 Papierstreifen entspricht 50 mm. | |
| Material | AB Papierstreifen – Papierstreifen (3 verschiedene Farben) |
2.3. SuS stellen Brüche als Kreissegmente mithilfe der Uhrenscheibe her
| Phase | |
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| Thema / Inhalt | – SuS nutzen Uhrenaufteilung in einzelne Minuten, 5-Minuten, 1/4 h, um verschiedene Brüche darzustellen – SuS erkennen, dass nicht alle Brüche hergestellt werden können – SuS erkennen, dass es verschiedene Bruchdarstellungen für den gleichen Anteil gibt (1/4 h = 15 min = 15/60 = 3 mal 5 min.) |
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| Hinweise | Kreissegmente: SuS müssten Kreisanteile in Winkel umrechnen, dies lenkt vom eigentlichen Inhalt ab und überfordert besonders Lernschwächere, deshalb Beschränkung auf die Uhr. Vorteil: Ein Kreis ist eindeutig als ein Ganzes zu erkennen und lässt sich nicht beliebig erweitern. Weitere Möglichkeiten: – Parallelenschaar – Geobrett |
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| Material | AB Kreissegmente – Uhrscheibe |
3. Ikonische und symbolische Darstellung zu Teil eines Ganzen und Teil mehrerer Ganzer
| Phase |   |
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| Thema / Inhalt | – SuS teilen bildlich dargestellte Lebensmittel, Vierecke, Kreise, Vielecke und Figuren gleichmäßig auf – SuS benennen und zeichnen Stammbrüche an bildlich dargestellten Lebensmitteln, Vierecken, Kreisen, Figuren – SuS benennen Brüche indem sie Zähler und Nenner bestimmen – SuS geben Anteile an – SuS wandeln ganze Zahlen in unechte Brüche um – SuS benennen Bruchteile – SuS schreiben Bruchzahlen (unechte Brüche) als gemischte Zahlen – SuS schreiben gemischte Zahlen als Bruchzahlen (unechte Brüche) |
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| Hinweise | - | |
| Material | - |
4. Vergleichen von Brüchen
| Phase | |
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| Thema / Inhalt | – SuS bauen Grundvorstellungen zum Verfeinern (Erweitern) und Vergröbern (Kürzen) auf – SuS erkennen anhand ikonischer Darstellungen und einfachen Flächenvergleichen, dass verschiedene Brüche denselben „Wert“ haben können – SuS erkennen, dass Brüche zwar beliebig erweitert, aber nicht gekürzt werden können – SuS entwickeln Strategien zum Vergleichen von Brüchen, z.B. – über den Stammbruch, – den gleichen Nenner (z.B. 3 Fünftel und 4 Fünftel), – den gleichen Zähler (z.B. 2 von 3 oder 2 von 4), – im Verhältnis zum Ganzen (z.B. 6 Siebtel ist dichter am Ganzen als 4 Fünftel), – im Verhältnis zum Halben. – Durchführung der Standortbestimmung. |
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| Hinweise | Eine saubere Schreibweise, die das Erweitern vom Multiplizieren sowie das Kürzen vom Dividieren unterscheidet, ist wichtig! | |
| Material | AB 1 Gleichwertigkeit von Brüchen – Steckwürfel & Würfelstangen (pdf) AB 2 Wertigkeiten von Brüchen – Steckwürfel & Würfelstangen (pdf) AB Verfeinern und Vergröbern (pdf s/w) AB Brüche erweitern (docx,pdf) AB Brüche kürzen (docx,pdf) |
5. Addition und Subtraktion
| Phase | |
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| Thema / Inhalt | – SuS nutzen bei der Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner den Quasikardinalaspekt: SuS fassen Nenner als Einheit (z.B. Kuchenstück) und den Zähler als Anzahl auf. – SuS nutzen bei der Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern die Uhr, sofern die Nenner Teiler von 12 (60) sind (z.B. 1/2 h + 1/4 h, 20 min + 1/4 h). – SuS bestimmen Hauptnenner, um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren. – SuS wenden Strategien zur Hauptnennerbestimmung an (In der Reihe des größeren Nenners nach dem ersten Vielfachen des kleineren Nenners suchen; kurzer Exkurs zur Einheit Vielfache, Teiler, Primfaktorzerlegung möglich) – SuS erkennen, dass möglichst kleine gemeinsame Vielfache die Fehlergefahr minimieren – Gemeinsam typische Fehler thematisieren, insbesondere Bedeutung der Rechnung Nenner plus Nenner visualisieren |
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| Hinweise | Typische Fehler: Zähler plus Zähler, Nenner plus Nenner Hauptnennerbestimmung |
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| Material | AB Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren (pdf) AB Ungleichnamige Brüche addieren (pdf) AB Ungleichnamige Brüche subtrahieren (pdf) |
6. Multiplikation von Bruchzahl mit natürlicher Zahl
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| Thema / Inhalt | – SuS nutzen für die Veranschaulichung der Multiplikation zwei Ansätze: (1) von-Ansatz bei der Multiplikation „Bruchzahl mal Natürliche Zahl“ (Operatoraspekt): SuS bestimmen Anteile „von“ einem Ganzen, z.B: 2/3 von 6 cm. (2) Wiederholte Addition bei der Multiplikation „Natürliche Zahl mal Bruchzahl“, z.B. 3 mal 4/7 = 4/7 + 4/7 + 4/7 (3) Durch das Kommutativgesetz/Vertauschungsgesetz spielt die Reihenfolge der Zahlen keine Rolle und es können beide Aufgabenarten mit beiden Anschauungen bearbeitet werden – SuS grenzen Vervielfachen vom Erweitern ab |
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| Hinweise | Einem inhaltlichen Verständnis der Regel kommt eine hohe Bedeutung zu. Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner beibehält. |
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| Material | AB Bruchteile bestimmen (pdf) AB Brüche vervielfachen (pdf) |
7. Division mit Bruchzahl und natürlicher Zahl
| Phase | |
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| Thema / Inhalt | – SuS betrachten bei der Division von Bruchzahl durch natürliche Zahl zwei Fälle: (1) Ist der Zähler durch die natürliche Zahl teilbar, so wird der Anteil auf die Anzahl aufgeteilt, z.B. 6/16 einer Pizza auf 3 Personen aufteilen. (2) Ist der Zähler nicht durch die natürliche Zahl teilbar, so werden die Stücke mit der gegebenen Zahl verfeinert und anschließend wie in (1) aufgeteilt, z.B. 3/4 einer Pizza auf 4 Personen aufteilen = 12/16 auf 4 Personen aufteilen = 3/16 pro Person. – Rechenregel: „Bruchzahl geteilt durch ganze Zahl“ a/b : c = a/b*c als Abkürzung muss von den SuS selbstständig entdeckt werden! – auch bei der Division von natürliche Zahl durch Bruchzahl benutzen die SuS die Anschauung des Aufteilens: z.B. Wie viele 1/4 l Gläser können mit 2 l Wasser gefüllt werden? – SuS finden Erklärung für Wiederspruch zur Division von natürlichen Zahlen: Wird eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividiert, ist der Quotient größer als der Dividend. |
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| Hinweise | - | |
| Material | AB Brüche teilen (1) (pdf) AB Brüche teilen (2.1) (pdf) AB Brüche teilen (2.2) (pdf) |
8. Multiplikation von Bruchzahl mit Bruchzahl
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| Thema / Inhalt | – SuS bestimmen Anteile von Anteilen zunächst ikonisch (Flächenanteile) – SuS leiten Rechenregel Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner her |
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| Hinweise | - | |
| Material | AB Brüche multiplizieren (pdf) |
9. Division von Bruchzahl durch Bruchzahl
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| Thema / Inhalt | SuS wenden das Permanenzprinzip an: – Zum Kennenlernen des Permanenzprinzips wird die Rechenregel natürliche Zahl durch Bruchzahl erneut hergeleitet, z.B. 8 : 8 = 1 8 : 4 = 2 8 : 2 = 4 8 : 1 = 8 8 : 1/2 = 16 8 : 1/4 = 32 – SuS übertragen bekanntes Prinzip auf Bruchzahl durch Bruchzahl: z.B. 1/2 : 4 = 1/8 1/2 : 2 = 1/4 1/2 : 1 = 1/2 1/2 : 1/2 = 1 1/2 : 1/4 = 2 |
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| Hinweise | Beim Permanenzprinzip muss im (1.) Schritt die Entwicklung der Permanenzreihe beschrieben werden: z.B. – Dividend bleibt unverändert -Divisor wird jeweils halbiert – Quotient verdoppelt sich bei jeder Halbierung (2.) Schritt, nach Betrachtung mehrerer Permanenzreihen, wird die Gesetzmäßigkeit der Division mit Brüchen beschrieben und die Rechenregel für das Dividieren mit Brüchen hergeleitet. |
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| Material | AB Brüche dividieren (pdf) |
10. Reflexion/ Abschluss der Einheit
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| Thema / Inhalt | – SuS vervollständigen Merkhefteinträge | |
| Hinweise | - | |
| Material | - |