Handreichung Mathematik

Daten und Zufall

Verbindliche Vorgaben der Fachanforderungen: Daten und Zufall

Die grundlegenden Anforderungen werden normal gedruckt (Erster allgemeinbildender Schulabschluss),
die höheren Anforderungsebenen werden kursiv gedruckt (zusätzlich für den Mittleren Schulabschluss)
sowie kursiv und fett gedruckt (zusätzlich für den Übergang in die Oberstufe).

Benötigtes Vorwissen

• Brüche
• Dezimalzahlen
• Prozentangaben
• Häufigkeiten und Mittelwerte

Fachsprache

• Zufallsexperiment: Ein Versuch heißt Zufallsexperiment, falls (a) er unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist, (b) alle möglichen Ausgänge vor Durchführung bekannt sind und (c) sein Ausgang sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt.
• Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit gibt an, welche relative Häufigkeit für ein Ergebnis bei vielen Versuchswiederholungen zu erwarten ist.
• Gegenwahrscheinlichkeit
• Ergebnis: Der Ausgang eines Zufallsexperiments. Beispiel: Zufallsexperiment – Werfen eines Würfels mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6
• Ergebnismenge: Die Menge aller möglichen Ergebnisse Ω. Beispiel: Werfen eines Würfels Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Ereignis: Mehrere Ergebnisse können zu einem Ereignis zusammengefasst werden. Ein Ereignis ist somit eine Teilmenge der Ergebnismenge. Beispiel: Werfen eines Würfels E₁ : Die geworfene Zahl ist eine gerade Zahl. E₁ = {gerade Zahl} = {2, 4, 6}
• absolute Häufigkeit: umgangssprachlich „Anzahl“ gibt an, wie oft das Ereignis E innerhalb eines Zufallsexperiments, welches n-mal ausgeführt wird, aufgetreten ist.
• relative Häufigkeit: Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit dividiert durch die Anzahl der Versuche.
• Laplace-Experiment: Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Beispiele: Werfen eines gleichseitigen Würfels, Werfen einer regelmäßigen Münze.
• Laplace-Wahrscheinlichkeit: Bei n möglichen Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment für jedes Ergebnis 1/n.
• Mehrstufige Zufallsexperimente: Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren Stufen bzw. Schritten besteht, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind, heißt mehrstufig. Beispiel: Ein Würfel wird zweimal geworfen.
• Baumdiagramm
• Pfad: Weg zu einem zusammengesetzten Ergebnis
• Pfadregel (Pfadmultiplikationsregel): Die Wahrscheinlichkeit für ein zusammengesetztes Ergebnis erhält man, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades multipliziert. Beispiel: In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus. E : Es wird erst eine schwarze Kugel und dann eine weiße Kugel gezogen. P(E) = P(schwarz, weiß) = 4/9 • 5/9 = 20/81
• Pfadregel (Pfadadditionsregel/Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade/Ergebnisse addiert. Beispiel: In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 5 weiße Kugeln. Wir ziehen zwei Kugeln mit Zurücklegen heraus. E : Es wird eine schwarze und eine weiße Kugel gezogen. P(E) = P(schwarz, weiß) + P(weiß, schwarz) = 20/81 + 20/81
• Gesetz der großen Zahlen: Das Gesetz besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.
• arithmetisches Mittel (Mittelwert)
• Median (Zentralwert)
• Maximum
• Minimum
• Spannweite
• Säulendiagramm
• Kreisdiagramm
• Histogramm

Hinweise

Zu Beginn der Unterrichtseinheit können u.a. am Beispiel des fairen Würfels zahlreiche Fehlvorstellungen zur Bedeutung von Wahrscheinlichkeiten aufgedeckt werden. Ein Klassiker unter den Fehlvorstellungen ist die Vorstellung, dass sich Wahrscheinlichkeiten verändern, wenn das Ergebnis zuvor besonders häufig oder gar nicht eingetreten ist. Dies zeigt die Diskrepanz zwischen der im Alltag genutzten und der mathematischen Begriffe „wahrscheinlich“, „unwahrscheinlich“, „wahrscheinlicher“, „unmöglich“ und „sicher“. Im Alltag sind sie von einem subjektiven Empfinden abhängig. Sie sind weder objektiv noch vergleichbar, da keine Daten zugrunde gelegt werden. Zum Beispiel sagt man: a) Die Chance, dass man beim Busfahren ohne Ticket erwischt wird, sei 50/50. b) Es ist sehr wahrscheinlich, dass man heute einen Schirm braucht. c) Wir schreiben sicher heute einen unangekündigten Vokabeltest.

Auch die Frage nach Schätzwerten zum durchschnittlichen Eintreten des Ergebnisses muss geklärt und thematisiert werden. So muss der Würfel zwar im Durchschnitt sechs Mal geworfen werden bis eine Sechs fällt – sicher ist dies aber nicht und auch vorherige Ergebnisse beeinflussen dies nicht. Wichtig ist hier zu vermitteln, dass die Wahrscheinlichkeit lediglich angibt, welche relative Häufigkeit für ein Ergebnis bei vielen Versuchswiederholungen zu erwarten ist. Der ermittelte Wert für die relative Häufigkeit eines Ergebnisses dient andersherum als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses.

So kann es also sein, dass ein Würfel „unfair“ erscheint, wenn beim „Mensch ärgere Dich nicht“- Spiel auch nach zehn Würfen noch keine Sechs gewürfelt wurde, während beim Spielpartner oder der Spielpartnerin bereits zweimal hintereinander eine Sechs gewürfelt wurde. Ob es sich um ein „faires“ Zufallsgerät handelt, kann mithilfe langer Versuchsreihen untersucht werden. Bei vielen Versuchswiederholungen ist zu erkennen, dass sich die relative Häufigkeit bei der erwarteten Wahrscheinlichkeit stabilisiert. Die Anzahl der Versuchsdurchführungen im Unterricht sind in der Regel jedoch zu gering, sodass an dieser Stelle bei Laplace-Zufallsgeräten Vorsicht geboten ist. Eine Abweichung der relativen Häufigkeit von der bekannten Wahrscheinlichkeit könnte hier zu Irritationen der Lernenden führen. Weniger problematisch sind die langen Versuchsreihen bei Zufallsgeräten, deren Ergebniswahrscheinlichkeiten nicht durch theoretische Überlegungen offensichtlich sind, z.B. Legostein, Heftzwecke, Kronkorken.

Beispiele zu Unterrichtseinheiten

Lernumgebung: Mit dem Zufall rechnen

Diese Einheit eignet sich im besonderen Maße dazu, mit der Klasse handlungsaktiv und entdeckend zu arbeiten, da ein starker Lebensweltbezug und ein hohes Interesse der Schülerinnen und Schüler besteht. Es ist deshalb wichtig, Spiele und Wetten aus dem Alltag der Jugendlichen zu wählen, die zwar intuitiv gut zugänglich sind, aber nicht zu einfach, damit eine Berechnung verschiedener Wahrscheinlichkeiten noch sinnvoll ist. Die Alltagsnähe und Vorerfahrungen bieten allerdings auch eine große Gefahr für Fehlvorstellungen.

Ein sprachsensibler Unterricht ist bei dieser Unterrichtseinheit besonders wichtig, da bereits geringe sprachliche Unterschiede große Auswirkungen auf ein Ereignis haben können (teilweise widersprüchliche Alltags- und Fachsprache). Thematisiert werden sollte unbedingt, dass ein gleichzeitiges Werfen von zwei unterscheidbaren Würfeln in einem Baumdiagramm durch das hintereinander Werfen eines Würfels modelliert wird. Auch das Ziehen zweier Kugeln mit einem Griff führt zum gleichen Ergebnis wie das hintereinander Ziehen ohne Zurücklegen. Wie aus der Prozentrechnung bereits bekannt sein sollte, machen unterschiedliche kleine Wörter (wie von, auf, um) große Unterschiede in der Bedeutung und im Ergebnis. Darum sollte mit den Schülerinnen und Schülern auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung thematisiert werden, was z.B. 50 % von allen Gewinnen, eine Steigerung um 50 % und eine Steigerung auf 50 % bedeutet. Außerdem ist eine klare Trennung der stochastischen und statistischen Begriffe wichtig. Dies kann durch eine Gegenüberstellung der Begriffe Erwartungswert und Mittelwert sowie Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit geschehen.

Zufallsgeräte

• Würfel
• Reißzwecke
• Kronkorken
• Glücksrad
• Lotto
• Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder, …
• Glücksschwein
• Münze
• Legostein
• Kartenspiel