Handreichung Mathematik

Die Schülerinnen und Schüler:

• begründen die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen an Beispielen.

• Betrag, Vorzeichen

• Zahlengerade, Anordnung

Im fünfjährigen Bildungsgang der Sekundarstufe I entscheidet die Fachschaft, ob als erste Zahlbereichserweiterung die positiven Bruchzahlen oder die ganzen Zahlen eingeführt werden.

Als Einstieg ruft man das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler zum Zahlenstrahl ab. Zunächst kann man einen Zahlenstrahl zeichnen und einige positive Zahlen einzeichnen lassen. Anschließend stellt man einige Additionen und Subtraktionen an der Zahlengerade dar. Hierbei wird besonderer Wert auf die Darstellung der Rechenoperationen mittels eines Pfeils gelegt. Die Powerpoint-Präsentation „Zahlengerade“ kann zu diesem Zweck eingesetzt werden. Sobald dieses Vorwissen bei den Schülerinnen und Schülern aktiviert wurde, verlässt man das bekannte Terrain und fragt nach der Subtraktion einer Zahl, wo als Ergebnis eine negative Zahl herauskommt (siehe Powerpoint-Präsentation). Die Lernenden sollen nun eigene Ideen entwickeln, wie dieser Term zu berechnen ist. Es ist zu erwarten, dass aus der Klasse entsprechende Vorschläge kommen, wie der Zahlenstrahl nach links zu erweitern ist. Im weiteren Verlauf der Stunde sollte darauf eingegangen werden, dass wir nunmehr nicht von einem Zahlenstrahl, sondern von einer Zahlengerade sprechen. Die Präsentation endet damit, dass die Lerngruppe Beispiele finden soll, in denen negative Zahlen vorkommen. Sicher ist davon auszugehen, dass Temperaturen genannt werden, auch Konto- und Wasserstände und ggf. Stockwerke auf den Fahrstuhltasten könnten weitere Beispiele sein, die von den Schülerinnen und Schülern kommen oder alternativ anschließend von der Lehrkraft eingebracht werden können.

Im Anschluss an dieses Brainstorming sollten die Begriffe negative Zahlen, ganze Zahlen, Betrag und Gegenzahl ins Vokabelheft aufgenommen werden (siehe Fachsprache oben).

Idealerweise bereitet die Lehrkraft im Vorfeld eine große Zahlengerade vor, die im Unterricht für die Enaktivierung der Lernenden genutzt wird. Diese große Zahlengerade kann mit Hilfe einer Tapetenrolle erstellt werden. Diese ist in der Regel rund 10m lang und 50cm breit. Bei näherungsweise quadratischen Feldern könnten somit beispielsweise die Zahlen bis abgedeckt werden. Da die meisten Klassenräume vermutlich nicht ausreichend Platz bieten um die Rolle komplett auszurollen, bietet es sich an, mit der Klasse auf den Flur oder auf den Schulhof zu gehen. In dieser Zeit kann zwar nicht mitgeschrieben werden, das aktive Handeln der Schülerinnen und Schüler sorgt dennoch für zusätzliche Verknüpfungen zu den Inhalten, die den Unterrichtsstoff möglicherweise nachhaltiger festigen. Zunächst lässt man sich eine Schülerin oder einen Schüler irgendwo auf der Zahlengerade platzieren und bittet einen Mitschüler oder eine Mitschülerin die Gegenzahl darzustellen. Auch der Betrag als Abstand zur Null kann in diesem Zusammenhang thematisiert werden. Für Additionen und Subtraktionen positiver Zahlen befindet sich nur eine Person zur Zeit auf der Zahlengerade. Bei Additionen erfolgt die Blickrichtung in Richtung der größer werdenden Zahlen, bei Subtraktionen in Richtung der kleiner werdenden Zahlen. Bei der Aufgabe beispielsweise stellt sich eine Schülerin oder ein Schüler auf die , dreht sich in Blickrichtung der positiven Zahlen und geht fünf Schritte vorwärts. Anhand der großen Zahlengerade kann man auch thematisieren, welche von zwei Zahlen die größere ist (zwei Lernende suchen sich eine beliebige Position auf der Zahlengerade, die anderen nennen und begründen, wer der beiden die größere Zahl darstellt).

Zurück im Klassenraum sollte diese Erkenntnis schriftlich festgehalten werden:

Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige die größere Zahl, die auf der Zahlengerade weiter rechts steht.
Unter anderem sind positive Zahlen immer größer als negative, unabhängig vom Betrag.

Im Anschluss gilt es die neuen Erkenntnisse dieser Stunde anhand der Arbeitsblätter „Zahlengerade“ sowie „Zahleigenschaften“ zu üben. Aufgabe 2 und 3 des Arbeitsblatts Zahlengerade bereiten die Übertragung des Kommutativgesetzes auf negative Zahlen vor.

Für den Fall, dass das enaktive Erkunden der Zahlengerade im großen Maßstab nicht möglich sein sollte, gibt es hier eine Bastelanleitung sowie Aufgaben für einen Laufstreifen im kleineren Maßstab. Statt selbst auf dem Laufstreifen zu laufen, können die Lernenden dann eine Figur dafür nutzen. Im Hinblick auf die Nutzung des Laufstreifens in den folgenden Stunden, sollte die Figur eine deutlich zu identifizierende Vorderseite haben.

Im Anschluss an diese Einführung könnte bereits ein erster Test geschrieben werden, um einen Eindruck davon zu gewinnen, wie sehr die Schülerinnen und Schüler das neue Wissen verinnerlicht haben.

Zur Wissensüberprüfung kann an dieser Stelle bereits der erste Test geschrieben werden.

Zum Einstieg in die Thematik kann dieses Arbeitsblatt zur Addition und Subtraktion positiver Zahlen genutzt werden, bei dem auch ein Übergang vom positiven in den negativen Zahlenbereich und umgekehrt vorkommt. Vor der Einführung der Addition und Subtraktion negativer Zahlen sollten ein paar Teilaufgaben exemplarisch besprochen werden. Die übrigen bearbeiteten Aufgaben bleiben zur Überprüfung mit einer Tabellenkalkulation im folgenden Block unbesprochen. Des weiteren sollten auch nicht viel mehr als 15 Minuten als Wiedereinstieg zum Hineindenken in das neue Thema für dieses Arbeitsblatt aufgewendet werden. Die übrig gebliebenen Aufgaben werden im vierten Block wieder aufgegriffen.

Zur Einführung der Addition und Subtraktion negativer Zahlen kann wieder hervorragend die begehbare Zahlengerade verwendet werden. Zum Einstieg lässt man ein paar Aufgaben laufen, wie sie bereits aus dem ersten Block bekannt sind. Die Lehrkraft weist noch einmal darauf hin, dass die Blickrichtung bei der Addition zu den größer werdenden Zahlen ist und bei der Subtraktion in Richtung der kleiner werdenden Zahlen. Nachdem alle Schülerinnen und Schüler wieder sicher im Umgang mit der Zahlengerade sind, stellt die Lehrkraft eine Aufgabe wie beispielsweise und fragt die Lerngruppe nach Ideen, wie diese Aufgabe umzusetzen ist. Hierbei sollte darauf bestanden werden, dass die Blickrichtung so bleibt wie für die Addition besprochen. Die Lösung für die Umsetzung ist die, dass man für die Addition (und auch die Subtraktion) negativer Zahlen rückwärts auf der Zahlengerade geht. Auf diese Weise sollten einige Aufgaben gelaufen werden, auch zur Subtraktion negativer Zahlen. Die Aufgaben, welche die Freiwilligen darstellen sollen, können auch gut von ihren Mitschülerinnen und Mitschülern vorgegeben werden. (Beispiel: Die Aufgabe wird auf der Zahlengerade folgendermaßen gelaufen: Ein Schüler oder eine Schülerin beginnt auf der 5. Die Blickrichtung ist in Richtung der kleiner werdenden Zahlen, da es sich um eine Subtraktion handelt. Die Laufrichtung ist rückwärts, da der Subtrahend negativ ist. Somit findet eine Bewegung in drei Schritten Richtung 8 statt.)

Zurück im Klassenraum sollten die neuen Erkenntnisse schriftlich festgehalten werden. Hierbei ist darauf einzugehen, dass Rechenzeichen und Vorzeichen durch Klammern getrennt werden. Dies ist zudem ein guter Zeitpunkt um die Äquivalenz der Addition einer negativen Zahl zur Subtraktion ihrer Gegenzahl zu thematisieren und zu verschriftlichen sowie entsprechend die Äquivalenz der Subtraktion einer negativen Zahl zur Addition ihrer Gegenzahl. Ebenso kann diese Äquivalenz dafür aufgegriffen werden, dass jede Subtraktion ebenso als Addition darstellbar ist, was das Überprüfen der Ergebnisse mit Hilfe einer Tabellenkalkulation vereinfacht, da nun alle Aufgaben mit der gleichen Formel überprüft werden können (siehe 4. Block).

Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen soll anschließend geübt werden, wozu sich dieses Arbeitsblatt anbietet. Die Ergebnisse sollen selbstständig mit Hilfe einer Tabellenkalkulation kontrolliert werden, wozu der nächste Block eingeplant ist. Daher wird an dieser Stelle auf ein Lösungsblatt verzichtet. Sollte die Klasse einen Bettermarks-Account nutzen, kann auch das digitale Arbeitsblatt mit dem Code QXKN87* eingesetzt werden.

Gerade Schülerinnen und Schüler, die noch Probleme haben, Rechnungen mit ganzen Zahlen auszuführen, sollten dazu ermutigt werden, dass sie sich jederzeit als Hilfe eine Zahlengerade skizzieren können. Selbst wenn die Zahlen zu groß sind um alle Zwischenschritte einzuzeichnen, kann die Zahlengerade hilfreich sein um zu erkennen, ob eine Addition oder Subtraktion über die Null hinausgeht.

* Um ein Arbeitsblatt bei Bettermarks zu importieren, den Reiter „Arbeitsblätter“ auswählen, rechts „Arbeitsblatt importieren“ und dann den obigen Code eingeben. Anschließend kann der Haken links vom Arbeitsblatt gesetzt werden um es einer Klasse oder einzelnen Schülerinnen und Schülern zuzuweisen.

Der dritte Block hat die Schwerpunkte des Übens der Inhalte der vorangegangenen Stunde sowie des Einsatzes einer Tabellenkalkulation zur selbstständigen Überprüfung von Rechenergebnissen. Für diesen Block sollte entweder ein Computerraum oder ein Klassensatz Laptops oder Tablets gebucht werden.

Die Arbeitsblätter aus der vorangegangenen Stunde bieten einige Übungsaufgaben zur Addition und Subtraktion positiver sowie negativer Zahlen. Bekannte Rechenregeln wie Punkt- vor Strichrechnung müssen beachtet werden. Zudem kommen auch Bruch- und Dezimalzahlen vor, da der Umgang mit diesen Zahlen für die Schülerinnen und Schüler im Laufe der Schulzeit ganz normal sein sollte. Bei diesen Aufgaben haben wir auf die Bereitstellung eines Lösungsblatts verzichtet. Stattdessen gibt es eine Anleitung für die Lerngruppe, wie Ergebnisse selbstständig mit einer Tabellenkalkulation wie beispielsweise Microsoft Excel oder Libre Office überprüft werden können. Der Einsatz einer Tabellenkalkulation im Mathematikunterricht ist durch die Fachanforderungen vorgesehen. In dieser Unterrichtseinheit kann somit der Umgang mit einer solchen Software gefestigt und auf weitere Einsatzbereiche erweitert werden. Propädeutisch wird durch die Verwendung von Formeln zur Berechnung der Ergebnisse die Arbeit mit Variablen vorbereitet. Da die meisten Lernenden noch nicht sehr geübt im Umgang mit der Software sind, ist ausreichend Zeit einzuplanen.

Auf dem Anleitungsblatt wird die Erkenntnis verwendet, dass man jede Subtraktion auf eine Addition zurückführen kann. Sollte dies im vorangegangenen Block noch nicht thematisiert worden sein, sollte dies im Hinblick auf einen gewinnbringenden Einsatz der Tabellenkalkulation nun nachgeholt werden.

Zur Einführung der Multiplikation mit negativen Zahlen nutzen wir das Permanenzprinzip. Für den Einstieg kann diese Powerpoint-Präsentation genutzt werden. Als Beispiel könnte man als zweiten Faktor die Zahl 2 nehmen (oder diese beliebig durch eine andere zunächst positive Zahl tauschen), als ersten Faktor geht man absteigend die Zahlen ab 4 durch. Die Schülerinnen und Schüler sollten erkennen, dass der Wert des Terms von Faktor zu Faktor um 2 abnimmt. Auf diese Weise sagen sie das Ergebnis für (–1)⋅2 richtig voraus und entsprechend die Ergebnisse der Multiplikationen von 2 mit den Zahlen , und .


Terme wie 3 ⋅(–2) können zum einen mit Hilfe des Kommutativgesetzes auf die gerade gewonnen Erkenntnisse aus der Permanenzreihe zurückgeführt werden. Zum anderen kann die Vermutung über das Ergebnis auch als Hintereinanderausführung von Additionen verifiziert werden.


Beide Aufgabentypen sollten an der Zahlengerade visualisiert werden und insbesondere die Permanenzreihe kann bei Bedarf auch auf der großen Zahlengerade mit Hilfe mehrerer positionierter Schülerinnen und Schüler dargestellt werden.

Auf dem Arbeitsblatt Multiplikation (Lösungen) sollen die Lernenden zur Entdeckung der Regel zur Multiplikation zweier negativer Zahlen selbstständig weitere Permanenzreihen berechnen. Anschließend sollen sie die neuen Erkenntnisse üben und zum Überprüfen ihrer Ergebnisse sowie zur Gewinnung neuer Erkenntnisse wieder die Tabellenkalkulation einsetzen. Dass die Tabellenkalkulation nicht immer genau das tut, was wir von ihr erwarten, ist Inhalt des Arbeitsblatts Multiplikation Zusatz (Lösungen). Weiteres Übungsmaterial gibt es dann auf dem Arbeitsblatt Multiplikation üben , wo wieder alle bisher bekannten Zahlenbereiche genutzt werden, sowie auf diesem digitalen Arbeitsblatt bei Bettermarks (Code: C3T2Z9). Auch wenn sich die Arbeitsblätter vorrangig mit der Multiplikation beschäftigen, sollte im Unterricht thematisiert werden, dass die Regeln für die Division die gleichen sind.

Anschließend an die Multiplikation negativer Zahlen kann erneut ein Test geschrieben werden.

Nach einem Test zu den bisherigen Inhalten des Themas sollte die Blockschreibweise zur Vereinfachung langer Terme eingeführt werden. Bei der Blockschreibweise lernen die Schülerinnen und Schüler, auch bei komplexen Termen auf die Einhaltung von Punkt- vor Strichrechnung zu achten. Sie unterteilen sich den langen Term in kleinere Blöcke und berechnen diese zunächst separat. Weiterhin kann mit Hilfe der Blockschreibweise das Kommutativgesetz der Addition auf die Subtraktion ausgeweitet werden, da immer ganze Blöcke verschoben werden und das Rechenzeichen (der Strichoperator) mit zum Block gehört. Sofern der erste Block ohne Vorzeichen beginnt, muss beim Verschieben dieses Blocks das Rechenzeichen ergänzt werden.

Das Arbeitsblatt Blockschreibweise (Lösungen) kann selbsterklärend genutzt werden, da eine kurze Einführung und ein Beispiel gegeben sind. Es ist dennoch zu empfehlen, dass die Einführung zentral im Klassenverband gemacht wird und mindestens ein bis zwei Beispiele ausführlich besprochen werden. Dabei sollte darauf eingegangen werden, wie man die einzelnen Blöcke erkennt um sie markieren zu können. Die Bearbeitung sollte eng begleitet werden, da diese Vorgehensweise für die Lernenden eine neue ist und für den weiteren Lernerfolg in den folgenden Schuljahren das Denken in solchen Blöcken extrem hilfreich sein kann.

Ergänzend dazu kann das kurze Bettermarks-Arbeitsblatt ACGCDY eingesetzt werden, um Punkt- und Strichrechnung zu üben. Bei diesem geht es aber nicht explizit um die Blockschreibweise.

An dieser Stelle der Unterrichtseinheit kommen Variablen ins Spiel. Die Schülerinnen und Schüler bringen aus der Grundschule einen intuitiven Umgang mit Platzhaltern und damit einhergehend Variablen mit. Auf der weiterführenden Schule verliert sich diese Intuition häufig. Dieses Arbeitsblatt Einsetzverfahren zielt darauf ab, den bekannten Umgang mit Platzhaltern lebendig zu halten. Die erste Aufgabe verzichtet noch auf Variablen, ab der nächsten Aufgabe werden jedoch Variablen als Alternative zu den bekannten Lücken eingeführt. Propädeutisch wird hier das Thema Terme und Gleichungen in den Blick genommen, was zu einer Vernetzung des Unterrichts beiträgt. Weitere einfache Gleichungen können auf dem digitalen Arbeitsblatt 52DSBX bei Bettermarks gelöst werden.

Das Arbeitsblatt zum Distributivgesetz schließt direkt an das Einsetzverfahren an. Zunächst geht es um Minusklammern und die Auflösung dieser, anschließend werden Klammern mit Variablen ausmultipliziert und bei anderen Termen Variablen ausgeklammert. Die Schülerinnen und Schüler können sich alle Inhalte mit Hilfe des Arbeitsblatts selbst erschließen. Ergänzt werden kann das Arbeitsblatt jedoch auch gut durch eine lehrerzentrierte Aufarbeitung des Themas, wobei die Lernenden selbstverständlich ihre Ideen einbringen sollen. Die ausführlichen Aufgaben bieten dann eine gute Wiederholung, um die Inhalte zu festigen.

Bei den Aufgaben werden bewusst Symbole und griechische Buchstaben als Variablen eingeführt, damit die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass es einfach nur Platzhalter sind und sie sich daran gewöhnen, dass Variablen auch anders heißen können als a, b und c.

Um geschicktes Rechnen mit Hilfe des Distributivgesetzes sowie richtiges Auflösen von Minusklammern geht es auf diesem digitalen Arbeitsblatt bei Bettermarks (Code: F6DVL3).

Im folgenden Test werden sowohl das Einsetzverfahren und das Distributivgesetz als auch der erfolgreiche Einsatz der Blockschreibweise überprüft.

Zum Abschluss der Einheit soll das Thema bei den Schülerinnen und Schülern soweit gefestigt werden, dass der Umgang mit negativen Zahlen möglichst selbstverständlich wird. Zum Bearbeiten der ersten Aufgabe des Arbeitsblatts (Lösungen) ist es sicherlich hilfreich, wenn vorab die Fachbegriffe der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division wiederholt werden bzw. die Lernenden darauf verwiesen werden, diese in ihrem Regelheft nachzuschlagen. (Um die Fachbegriffe nachhaltig zu verinnerlichen, eignet sich dieses Mathelied.) Bei den Aufgaben 4 und 5 wird wieder bewusst auf eine andere Form von Platzhaltern zurückgegriffen, damit die Schülerinnen und Schüler diesbezüglich flexibel bleiben. Abschließend werden Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem abgelesen und andere eingetragen. Gegebenenfalls muss hier noch einmal wiederholt werden, welche Koordinate zu welcher Achse gehört. Die Einbindung von Koordinatensystemen ist an dieser Stelle äußerst sinnvoll, da im Verlauf der kommenden Jahre immer wieder Punkte in Koordinatensysteme eingetragen werden müssen und das Erlernen eines selbstverständlichen Umgangs damit genauso wichtig ist wie der Umgang mit negativen Zahlen selbst.

Mit Hilfe des Kompetenzrasters verorten die Schülerinnen und Schüler ihren aktuellen Lernstand. Hierzu ist es sinnvoll, wenn jedem Punkt des Rasters bestimmte Aufgaben zugeordnet werden, anhand derer die Lernenden feststellen können, ob sie den Lerninhalt beherrschen oder noch weiteren Übungsbedarf haben. Dies kann mit Hilfe von Bettermarks erfolgen oder anhand verschiedener Aufgaben der vorangegangenen Arbeitsblätter. Für die Inanspruchnahme von Bettermarks kann diese Version des Kompetenzrasters
hilfreich sein. Die Aufgabennummern im Kompetenzraster beziehen sich auf das Arbeitsblatt GU99EL bei Bettermarks. Hierbei ist zu beachten, dass die Aufgaben auf dem Bettermarks-Arbeitsblatt ausschließlich grundlegendes Niveau abbilden, es kommen beispielsweise keine Brüche vor und die Terme sind alle einfach zu berechnen. Für ein höheres Niveau kann auf die bereits ausgeteilten Arbeitsblätter zurückgegriffen werden.

Das Übungsmaterial kann dann individuell danach ausgewählt werden, was die Schülerinnen und Schüler noch üben möchten. Hierfür müssen nicht zwingend neue Aufgaben gestellt werden, es können auch bereits erledigte Aufgaben wiederholt werden sowie diejenigen Aufgaben gelöst werden, die bisher unbearbeitet blieben. Bei Bettermarks können die Bücher „Ganze Zahlen“, „Grundlagen zu rationalen Zahlen“ sowie „Rechnen mit rationalen Zahlen“ zur selbstständigen Wiederholung des Themas zur Verfügung gestellt werden.

Zur allgemeinen und zusammenfassenden Wiederholung würde sich auch nochmal ein Video anbieten:

Die Klassenarbeit ist ebenfalls für 90 Minuten konzipiert. Für eine klassische Arbeit von 45 Minuten müssen entsprechend Aufgaben gekürzt werden. Sinnvoll wäre es, wenn das Thema nicht direkt im Anschluss an die Klassenarbeit beendet wird, sodass man noch in der Thematik ist, wenn die Klassenarbeit zurückgegeben und besprochen wird. Hier könnten beispielsweise noch Aufgaben von den vergangenen Arbeitsblättern bearbeitet werden, die bisher keine Beachtung fanden.

Um das Thema abzurunden und im Unterricht noch im Thema zu bleiben, während die Klassenarbeit korrigiert wird, kann man an dieser Stelle auf das Thema Wurzeln vorgreifen. Die Schülerinnen und Schüler werden mit dem Arbeitsblatt langsam an das Thema Wurzeln herangeführt, das Wurzelsymbol wird eingeführt und es wird ein besonderes Augenmerk darauf gelegt, dass es eine Wurzel neben der positiven Lösung auch eine negative Lösung hat. Auch negative Radikanden werden kurz thematisiert sowie auch andere Potenzen als Zwei.