Lineare Funktionen

Verbindliche Vorgaben der Fachanforderungen: Lineare Funktionen

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler:

• charakterisieren numerische Zuordnungen anhand qualitativer Eigenschaften des Graphen.

• identifizieren und charakterisieren spezielle Funktionen.

• verstehen das Lösen von Gleichungen als Nullstellenbestimmung von geeigneten Funktionen und umgekehrt.

• lösen graphische Probleme durch Lösen und Aufstellen von Gleichungen.

• wechseln situationsgerecht zwischen den Darstellungsformen Tabelle, Graph, Text und Term

• modellieren Realsituationen

• erstellen und interpretieren einfache Diagramme und Graphen.

• nutzen ein Tabellenkalkulationsprogramm zum Auswerten und Darstellen von Daten.

Verbindliche Themen und Inhalte

lineare Funktionen:

• Gerade

• lineares Wachstum

• Steigung, Steigungsdreieck

• Achsenschnittpunkte

• Funktionsgleichung

• Bedeutung der beiden Parameter in der Funktionsgleichung

• Schreibweise „ $f(x) = …$ “, sowie die Begriffe, Stelle (Argument) und Wert

• Diagramme

• Graph im Koordinatensystem

• Wertetabellen mit digitalen Werkzeugen

Vorgaben und Hinweise

Die Verwendung der Schreibweise „ $f(x) = …$ “ ist verbindlich.

Es bietet sich an, die Funktionalgleichungen sowohl in Tabellen als auch in grafischen Darstellungen zu visualisieren; zum Beispiel gilt bei linearen Funktionen f (x + 1) = f (x) + m. Die Bedeutung des Proportionalitätsfaktors sollte im Zusammenhang mit Anwendungsaufgaben hervorgehoben werden, um das Verständnis des Steigungsbegriffes zu erleichtern.

Für den Ersten allgemeinbildenden Schulabschluss hat das Beschreiben von Termen in Textform (Wechsel Term – Text) untergeordnete Bedeutung.

Diagramme und Graphen sollen sowohl per Hand als auch computerunterstützt erstellt werden. Auch die Möglichkeiten des wissenschaftlichen Taschenrechners zur automatischen Erstellung von Wertetabellen sollen genutzt werden.

Benötigtes Vorwissen

• Punkte im Koordinatensystem eintragen und ablesen
• Tabellen proportionaler Zuordnungen ergänzen und zu Sachproblemen aufstellen
• Fachbegriff Funktion

Fachsprache

Normalform einer linearen Funktion: y = mx + n bzw. y = mx + b
(y) = abhängige Variable
(y)-Wert / Funktionswert
(m) = Steigung
(x) = unabhängige Variable
(x)-Wert / Stelle
(Funktions-)Argument
Nullstelle
y – Achsenabschnitt b oder n
Hochachse (y-Achse) und Rechtsachse (x-Achse)

Hinweis

In Schulbüchern ist häufig der veraltete Kontext: „Handyvertrag“ zu finden, bei dem es eine monatliche Grundgebühr sowie Zusatzgebühren pro SMS oder Gesprächsminute gab. Inzwischen sind sogenannte „Allnet Flat Handyverträge“ üblich. Diese beinhalten eine FLAT für Internet, Telefonie, SMS und EU-Ausland. Der Kontext „Handyvertrag“ ist als Sachproblem für die Linearen Funktionen inzwischen nicht mehr authentisch.

Beispiele zu Unterrichtseinheiten

Lernumgebung (I): Mit dem E-Scooter Hamburg erkunden

+ schülernah
+ authentisch
+ vielseitig
+ motivierend
– Modellierung teilweise (zu) komplex
– nur im 1. Quadranten

Lernumgebung (II): Laufen für den guten Zweck

+ schülernah
+ authentisch
+ motivierend
– wirkt schnell konstruiert, insbesondere wenn negative Steigung oder negativer y-Achsenabschnitt eingebaut wird

Möglicher detaillierter Ablauf einer Unterrichtseinheit

Möglicher Ablauf einer Einheit mit dem Schwerpunkt-Kontext (I): Mit dem E-Scooter Hamburg erkunden.

Phase

Thema / Inhalt		Vorwissenstest Basiswissenstest

Hinweise		-

Material		Vorwissenstest bei bettermarks: Buch „Zuordnungen“ –> Vorwissenstest (es fehlen proportionale Zuordnungen)

Phase

Thema / Inhalt		Erweiterung des Zuordnungsbegriffs proportionaler Funktionen auf lineare Funktionen in Alltagssituationen durch die Notwendigkeit eines y-Achsenabschnitts (z.B. Grundgebühr, Startwert) Einstieg über Bild und Film: SuS beantworten Fragen mithilfe eines Films und stellen eigene Fragen auf. Forscherfrage: Wie können aus wenigen Werten Voraussagen für weitere Werte getroffen werden? Wiederholung proportionaler Zuordnungen, z.B. mit AB 1 (Weg-Zeit Zuordnung) Wertetabelle, Graph, Informationen ablesen, Zuordnungsvorschrift aufstellen. Einführung Lineare Funktionen zunächst mit positiver Steigung; Notwendigkeit eines y-Achsenabschnitts, z.B. mit AB 2 (Zeit-Kosten-Zuordnung) Wertetabelle, Graph, Informationen ablesen, Zuordnungsvorschrift aufstellen. Erweiterung Lineare Funktionen mit negativer Steigung, z.B. mit AB 3 (Weg-Akkuladung-Zuordnung) Wertetabelle, Graph, Informationen ablesen, Zuordnungsvorschrift aufstellen.

Hinweise		-

Material		Kontext (I): • Einstieg (I) (docx, pdf) • AB 1 Wie lange braucht man mit dem E-Scooter für 8 km? (docx, pdf) • AB 2 Wie viel kostet die Fahrt mit dem E-Scooter (docx, pdf) • AB 3 Wie lang hält der Akku eines E-Scooters? (docx, pdf)

Phase

Thema / Inhalt		Unterscheidungsmerkmale einer proportionalen und linearen Funktion mit f(0)≠0 herausarbeiten (Gerade nicht durch den Ursprung, kein Vervielfachen möglich/neuer Funktionsterm) Einführung f(x)=mx+b, y-Achsenabschnitt b und Steigung m Steigungsdreieck einführen

Hinweise		-

Material		-

Phase

Thema / Inhalt		Tabellen ergänzen Graphen zeichnen (mit Tabelle und Steigungsdreieck) Funktionsgleichungen aufstellen Steigung berechnen aus Wertepaaren Steigung ablesen aus Graph Funktionswerte berechnen Punktprobe durchführen Nullstellen berechnen Schnittpunkte berechnen Parallelität zweier Geraden prüfen Veränderung des Graphen durch Parameter Wertetabellen mit TR erzeugen Tabellenkalkulationsprogramm nutzen

Hinweise		Zunächst im Kontext bleiben und mit zusätzlichen Leitfragen arbeiten: Beispiele für Kontext (I) „Lohnt sich ein eigener E-Scooter?“ „Welcher Anbieter ist günstiger?“ Aber auch unbedingt Aufgaben mit negativen Zahlen und negativer Steigung/erweitertem Koordinatensystem einbauen!

Material		-

Phase

Thema / Inhalt		Lernzielkontrolle

Hinweise		-

Material		-