Handreichung Mathematik

Die Schülerinnen und Schüler:

• stellen Anteile situationsgerecht als Brüche oder Prozentsätze dar.

• ziehen die Prozent- und Zinsrechnung zur Lösung realitätsnaher Probleme heran.

• Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz

• Kapital, Zinsen, Zinssatz, Zinseszins

Die Prozentrechnung stellt eine Anwendung der bekannten Berechnung von Bruchteilen (Prozentwerten) durch Multiplikation des Ganzen (Grundwertes) mit dem Anteil (Prozentsatz) dar.

Eine verständnisorientierte Berechnung kann auch mithilfe proportionaler Zuordnungen durchgeführt werden.  

Zum Einstieg kann ein Downloadbalken gezeigt werden:

Hierzu bieten sich die folgende Frage an: „Wie lange wird der Download insgesamt dauern?“ Durch die Beschreibungen der Schülerinnen und Schüler kann auf die Anteile, Grundwert und Prozentwert schon Bezug genommen werden. Anhand des gegliederten Downloadbalkens kann auch die Frage gestellt werden, wie viel Zeit eines der Rechtecke entspicht, um schon den Dreisatz zu motivieren.
Nach einem anfänglichen Gespräch über den Downloadbalken kann den Schülerinne und Schülern vermittelt werden, wie man Anteile von Längen messen kann. Hierfür werden stabilere Gummibänder benötigt.

Das folgende Arbeitsblatt lässt die Schülerinnen und Schüler einen sogenannten Prozentstreifen erstellen und lehrt sie die Benutzung: Arbeitsblatt 1 . Auch würden die Lösungen für den Lehrer hinterlegt: Lösungen 1 . Anschließend kann mit den Schülerinnen und Schülern die erste Fachsprache entwickelt werden, indem in einem Klassengespräch mit der GeoGebra-Datei Downloadbalken gearbeitet wird. Diese kann natürlich auch zum Üben verwendet werden.

Fachsprache: Um die Fachsprache zu entwickeln, kann aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler die Bedeutung des Prozentzeichens entwickelt werden. Hierbei bieten sich die Fragen „Wie viel Cent sind ein Euro?“ oder „Wie viel Zentimeter sind ein Meter?“ oder „Was hieß nochmal Jahrhundert auf Englisch?“ an. Durch diese Fragen wird den Lernenden verdeutlicht, dass sich hinter dem Wort „Cent“ die Zahl 100 verscheckt. Anschließend kann noch das Wort „pro“ anhand der Geschwindigkeit „Kilometer pro Stunde“ oder ähnlichen Beispielen erläutert werden, sodass die Schülerinnen und Schüler lernen mit „Prozent“ die Bedeutung „Pro Hundert“ zu assoziieren.

In dem Vokabelheft können die Schülerinnen und Schüler folgende Merksätze zur Erklärung der Fachsprache festhalten.

• Grundwert G: Das was im Ganzen am Anfang betrachtet wird, wird Grundwert genannt. (Beispiel: Länge des Downloadbalkens)
• Prozentwert W: Der Anteil des Grundwertes, der betrachtet wird, wird Prozentwert genannt. (Beispiel: Länge des runtergeladenen Teils des Downloadbalken)
• Prozentsatz p in %: Die Prozentsatz gibt den relativen Anteil des Betrachteten vom Ganzen in Hundersteln an.
• 

Falls noch Zeit in der Stunde übrig bleiben sollte, könnte durch eine Rechercheaufgabe „Wo wird die Prozentrechnung überall verwendet?“ die Notwendigkeit des Themas nochmals unterstrichen werden. Sollte nach wie vor noch Zeit innerhalb der Stunde übrig bleiben könnte das folgende Arbeitsblatt zum Üben verwendet werden: Arbeitsblatt 2 und Lösungen 2. Dieses Arbeitsblatt bietet sich als Differenzierung nach unten an. Es sollte nicht verpflichtend von allen Schülerinnen und Schülern gemacht werden, damit es an späteren Zeitpunkten zum Verweis auf die Grundvorstellung anhand eines Beispiels hervorgeholt werden kann. Dieses Blatt ist für Inklusionsschülerinnen und -schüler geeignet, da die Grundvorstellung besonders häufig wiederholt wird.

Als Alternative kann ein Domino zu den Wechseln von Zahlendarstellungen zum Üben verwendet werden, welches hier zu finden ist: Domino – Zahlendarstellungen . Hierbei sollten die Dominos für die entsprechenden Lerngruppen von der Lehrkraft zuvor vorbereitet werden. Das Ziel ist, dass die Schülerinnen und Schüler die Dominos passend aneinander legen, sodass eine Kette entsteht, bei der die anliegenden Terme den gleichen Wert besitzen.

Zu Beginn der zweiten Stunde kann nochmals mit der GeoGebra-Datei Downloadbalken begonnen werden, um das Vorwissen der letzten Stunde zu reaktivieren.

Um die Grundvorstellung zur Prozentrechnung zu festigen, sollte thematisiert werden, dass das Gummiband im Gegensatz zum Geodreieck flexibel ist. Bei der Ausdehnung vergrößern sich die Abstände zwischen den -Strichen und bleiben dennoch äquidistant, was bestens die Relativität der Prozentdarstellung im Gegensatz zur festen Metrik der Einheit Meter veranschaulicht.

Anschließend sollte die Grundvorstellung abstrahiert werden, sodass die Schülerinnen und Schüler damit nicht nur die Länge des Downloadbalken assoziieren. Aus diesem Grund bietet es sich an, dass verschiedene Objekte mit dem Gummiband-Prozentstreifen vermessen werden, um verschiedene Fragestellungen zu beantworten.

• Mögliche Aufgabe zum Glas: „Berechne durch Messungen wie viel Wasser in dem Glas ist, wenn es 400 ml im gefüllten Zustand fasst.“
• Mögliche Aufgabe zum Stab: „Gib an wie viel Prozent des Stabes grün gefärbt ist.“
• Mögliche Aufgabe zur Schraube: „Die Schraube steckt zu 30 % im Holz. Berechne die Länge der Schraube.“
• Mögliche Aufgabe zum Rechteck: „Der Flächeninhalt des gesamten Rechtecks beträgt 168 m². Berechne den gemeinsamen Flächeninhalt der blauen und grünen Fläche sowie den der blauen und gelben Fläche. Gib anschließend den Flächeninhalt der blauen Fläche an. Beschreibe die Auffälligkeit bei der Berechnung des blauen Flächeninhalts.“
• Mögliche Aufgabe zum Holzblock: „Es sollen 20 g vom Holzblock abgeschnitten werden. Die Masse ganzen Holzstücks beträgt 125 g. Nenne die Maße aller möglichen Quader, die abgeschnitten werden können.“

Um das Grundwissen in der ersten Abstraktion zu festigen, sollten Größen die auf einen Fortschrittsbalken bezogen sind in die Berechnung einfließen: Arbeitsblatt 3 und Lösungen 3 . Es ist wichtig zu beachten, dass nicht immer alle Lernenden alle Aufgaben schaffen müssen, da auf einige Bereiche später zurückgegriffen wird. Viel mehr dienen die weiterführenden Aufgaben der Differenzierung.

Nachdem die Schülerinnen und Schüler die Relativität der prozentualen Darstellung verinnerlicht haben, können die diversen Darstellungen von Anteilen verwendet werden. Dabei ist es ratsam, dass die Lernenden noch einmal das „von“-Prinzip aus der Bruchrechnung wiederholen und dabei gleichzeitig schon die Umwandlung in eine Prozentdarstellung üben. Hierbei bietet es sich ebenfalls schon an propädeutisch Richtung Dreisatz aber auch Richtung Anteile von Anteilen zu arbeiten. Es sollte betont werden, dass stets nach den Hundertsteln einer Zahl gesucht wird. Arbeitsblatt 4 und Lösungen 4

Um in einer auflockernden Partnerarbeit noch etwas die prozentualen Anteile zu festigen bieten sich die Mini-Ping-Pongs an, von denen zwei hier zu finden sind: Mini-Ping-Pong – Prozentrechnung .

Zu Beginn dieser Stunde empfiehlt es sich an, dass ein Test geschrieben wird, um den Lernstand der Schülerinnen und Schüler zu ermitteln, sodass gezielte Übungen zur Differenzierung herausgegeben werden können. Hierfür bieten sich individualisierte Hausaufgaben an, um der Heterogenität gerecht zu werden, sodass die Lernenden genau an ihren Problemstellen arbeiten können. Ein Test könnte wie folgt aussehen: Mustertest 1 und Mustertestlösungen 1

Eine zentrale Rolle in der Prozentrechnung stellt der Dreisatz dar, welcher gut motiviert werden sollte. Hierzu bietet es sich an auf die proportionalen Zuordnungen zu verweisen oder aber diese propädeutisch zu erwähnen: Arbeitsblatt 5a und Lösungen 5a . Denn wenn den Schülerinnen und Schülern bewusst wird, dass je nach Fragestellung immer ein Vielfaches von Eins des jeweiligen Betrachteten gesucht ist, dann ist jede Aufgabe durch die Grundvorstellung hinter dem Dreisatz lösbar: Arbeitsblatt 5 und Lösungen 5 . Beim Dreisatz ist es vor allem wichtig, dass die entsprechenden Mengen einander richtig zugeordnet werden.
An diesem Punkt der Unterrichtseinheit kann noch auf das Arbeitsblatt 3 und deren Lösungen 3 zurückgegriffen werden.

Nachdem der Dreisatz verinnerlicht wurde, können weitere Aufgabentypen bewältigt werden, welche sich zum Beispiel über den Vergleich zwischen zwei Prozentwerten ergeben: Arbeitsblatt 6 und Lösungen 6 . Bei den Lösungen zu diesem Arbeitsblatt ist zu beachten, dass besonders kurze Lösungswege gewählt wurden, sodass die Lernenden auch an den Lösungen alternative Lösungswege erkunden und sich verständlich machen können, indem sie über die aufgestellten Terme diskutieren.

Es wird dringend davon abgeraten die Gleichungen an dieser Stelle schon zu unterrichten oder unterrichtet zu haben, da diese oftmals eher als Formeln gelehrt werden. Gleichungen, die als Formeln gelehrt werden, werden in der Regel nicht verstanden und lediglich auswendig gelernt. Erst wenn die Grundvorstellungen rund um die Prozentrechnung entwickelt wurden, können die Gleichungen aufgestellt und sinnvoll verwendet werden.

In dieser Stunde können analog zu den Aufgaben zum Arbeitsblatt 6 und Lösungen 6 die Fachvokabeln von Preisnachlass und prozentualer Anstieg eingeführt werden.

• prozentualer Anstieg: Der prozentuale Anstieg gibt, an wie groß die relative Differenz zum Ausgangswert ist. Somit wird vom neuen Wert der Ausgangswert subtrahiert und anschließend der relative Anteil vom Ausgangswert bestimmt.
• Preisnachlass: Wird ein Preis gesenkt, dann ist die Differenz zwischen dem Ausgangspreis und dem neuen Preis des Preisnachlasses.

Da in der realen Wirtschaft bei einem Kauf immer noch Steuern erhoben werden, existieren zwei unterschiedliche Betrachtungen auf den Preisnachlass, welche Anhand der Aufgaben Arbeitsblatt 6a und Lösungen 6a erarbeitet werden können. (An dieser Stelle ist zu erwähnen, dass dieses Teil der Unterrichtszeit bei schwachen Lerngruppen ausgelassen werden kann.)

• Rabatt: Ein Rabatt ist ein Preisnachlass, der vor den Steuern (also vom Nettobetrag) gewährt wird.
• Skonto: Das Skonto ist ein Preisnachlass, der nach den Steuern (also vom Bruttobetrag) gewährt wird.

Um alle Begrifflichkeiten im Unterricht zu erwähnen empfiehlt, es sich den Unterschied zwischen Prozentsatz und Prozentzahl in das Vokabelheft aufzunehmen. Da gerade bei der Differenzierung zwischen diesen beiden Begriffen die sprachliche Verwirrung der Schülerinnen und Schüler auf die Mathematik ausstrahlen kann, sollte ausschließlich der Prozentsatz in den Aufgaben verlangt werden, um Verwirrungen zu vermeiden.

• Prozentsatz p [%]: Der Prozentsatz gibt den relativen Anteil des Betrachteten vom Ganzen in Hunderstel an.
• Prozentzahl p: Die Prozentzahl ist der Prozentsatz ohne die Einheit Prozent. Es gilt folgender Zusammenhang: . (Die Prozentzahl wird manchmal auch Prozentfuß genannt.)

Da in der letzten Stunde sowie in dieser Stunde mit Geld gerechnet wurde, kann auch die Diskussion rund um die Geldanlage angeregt werden. Hierbei ist vor allem darauf zu achten, dass die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen der bis jetzt gelehrten Prozentrechnung und der Zinsrechnung erkennen können. Aus diesem Grund empfiehlt es sich in dieser Stunde die Gleichungen zu den vermeintlich unterschiedlichen Sachverhalten einzuführen.

Hierbei empfiehlt es sich genau diese Darstellung der Gleichung zu wählen, da so der Bogen von den vorherigen Anteilsberechnungen hin zur Zinseszinsrechnung geschlagen werden kann. Abschließend sollten die eingeführten Vokabeln noch im Vokabelheft niedergeschrieben werden.

• Kapital K: Bei Geldanlagen wird der Grundwert auch Kapital genannt.
• Zinsen Z: Bei Geldanlagen wird der Prozentwert auch Zinsen genannt.
• Zinssatz p [%]: Bei Geldanlagen wird der Prozentsatz auch Zinssatz genannt.
• Zinseszins: Bei Geldanlagen werden die Zinsen auf ein Kapital für einen bestimmten Zeitraum berechnet. Hieraus ergibt sich ein neues Kapital, welches für den neuen Zeitraum betrachtet wird, sodass die Zinsen steigen. Dieser Prozess wird mit dem Wort Zinseszins in Verbindung gebracht und beschreibt einen Anteil eines Anteils.

Um die Begrifflichkeiten rund um die Kapitalanlage einzuführen, können Beispielaufgaben diskutiert werden. Hierzu bieten sich die ersten Aufgaben des Arbeitsblatt 7 und Lösungen 7 an. Diese Aufgaben können in der nächsten Stunde weiter bearbeitet werden.

An dieser sollte muss noch einmal betont werden, dass die Gleichungen nicht auswendig gelernt werden sollten. Auch sollte die aufkommende Merkform im Dreieck auf keinem Fall eingeführt werden, da so das bereits aufgebaute Verständnis der Lernenden durch ein konkurrierendes Verfahren auf kognitiver Ebene überlagert werden könnte. Generell sollte auf die Gleichungen solange wie möglich verzichtet werden, bis die Schülerinnen und Schüler ein intuitives Gespür für die Aufstellung der direkten Berechnungsterme entwickelt haben. Generell sollte auch bei deutlich komplexeren Aufgaben stets der Dreisatz zugelassen bleiben.

In der darauf folgenden Stunde kann ein Test durchgeführt werden, um den Lernstand zu ermitteln, sodass nochmal gezielte Übungen zur Differenzierung herausgegeben werden können. Hierfür bieten sich individualisierte Hausaufgaben sowie unterschiedliche Startpunkte bei den nun folgenden Festigungs-, Vertiefungs- und Vernetzungsstunden an, um der Heterogenität gerecht zu werden, sodass die Schülerinnen und Schüler genau an ihren Problemstellen arbeiten können. Ein Test könnte wie folgt aussehen: Mustertest 2 und Mustertestlösungen 2

Zu Beginn dieser Stunde bietet sich Test an, um den Lernstand zu ermitteln, sodass nochmal gezielte Übungen zur Differenzierung herausgegeben werden können. Hierfür bieten sich individualisierte Hausaufgaben sowie unterschiedliche Startpunkte bei den nun folgenden Festigungs-, Vertiefungs- und Vernetzungsstunden an, um der Heterogenität gerecht zu werden, sodass die Schülerinnen und Schüler genau an ihren Problemstellen arbeiten können. Ein Test könnte wie folgt aussehen: Mustertest 2 und Mustertestlösungen 2

In dieser Stunde sollten verschiedene Aufgaben bearbeitet werden, damit durch die Variation kein Automatismus einer Verfahrenstechnik sondern ein gefestigtes Verständnis entwickelt wird. Hierzu könnten die Lernenden zunächst das Arbeitsblatt zur Zinsrechnung weiter bearbeiten: Arbeitsblatt 7 und Lösungen 7.

Weitere Übungen zum festigen der Inhalte sind auf den folgenden Arbeitsblättern zu finden: Arbeitsblatt 8 und Lösungen 8. Es ist empfohlen, dass die Schülerinnen und Schüler sich ihren Lösungsweg selbst aussuchen, wobei es für die Grundvorstellung und auch für die Vernetzung zur linearen Funktion besser wäre auf den Dreisatz zu setzen.

An dieser Stelle der Unterrichtseinheit sollte die Lehrkraft diagnostisch den Fortschritt bei den Aufgaben im Blick behalten und gegebenenfalls gemeinsam mit der Klasse oder einzelnen Lernenden die Grundlagen wiederholen.

Da die Aufgaben komplexer werden und die Schülerinnen und Schüler unterschiedlich schnell die Aufgaben bewältigen kann in dieser und der folgenden Stunde zur Differenzierung weiteres Material hineingegeben werden:
Arbeitsblatt 9 und Lösungen 9.
Arbeitsblatt 10 und Lösungen 10.
Zwischendurch können zur Auflockerung immer wieder kurze Partnerarbeiten mit den Ping-Pongs zur Prozentrechnung verwendet werden: Ping-Pong – Prozentrechnung.

In dieser Stunde sollten die Lernenden reflektieren, was sie erlernt haben. Hierzu bietet es sich an, dass die Schülerinnen und Schüler Lernplakate gestalten, um das Wesentliche des Themas nochmals konzentriert fest zu halten. Hierbei sollte ein Plakat die wichtigsten Vokabeln anhand eines Beispiels erklären, wie im folgenden Beispiel gezeigt:

Auch sollten die Schülerinnen und Schüler nochmal die restlichen Vokabeln durchgehen und sie nach ihrer Wichtigkeit sortieren. Hierbei sollten sie Tipps anhand von selbst ausgedachten Beispielaufgaben verschriftlichen. Ebenfalls ist es ratsam den Lernenden zu sagen, dass sie in die Rolle einer Lehrerkraft schlüpfen sollen, die die Begriffe auf einem Blatt für die Mitschülerinnen und Mitschüler zusammengefasst erklären soll. Hierbei sollte vor allem nochmal die eigene Sprache mit der Fachsprache verknüpft werden.
Bei den von den Lernenden erstellten Erklärungsblättern sollten sie auch vermerken, welche Vorkenntnisse eine Schülerin oder ein Schüler haben sollte, die oder der bald mit der Prozentrechnung beginnen will, damit sie oder er sich gut vorbereiten kann.

Eine weitere Option der Reflexion stellt die Selbsteinschätzung anhand eines Kompetenzrasters dar, welches den Schülerinnen und Schülern nochmals verdeutlicht, welche Aufgabentypen wiederholt oder geübt werden sollten: Kompetenzraster .

In den darauffolgenden Stunden sollte ein schriftlicher Leistungsnachweis (Klassenarbeit) stattfinden. Hierzu bietet sich die 11. Stunde an, da in dieser Stunde die Zinsrechnung noch als Transferleistung angesehen werden kann und zeitgleich in der 10. Stunde durch die Reflexion des Erlernten nochmals der gesamte Inhalt zusammengefasst wird. Ein solche Klassenarbeit könnte wie folgt aussehen: Musterklassenarbeit und Musterklassenarbeitlösungen .

Zu diesem Zeitpunkt empfiehlt sich ein schriftlicher Leistungsnachweis (Klassenarbeit), welcher wie folgt aussehen könnte: Musterklassenarbeit und Musterklassenarbeit Lösungen . Diese Klassenarbeit sollte noch vor Beendigung der Unterrichtseinheit korrigiert werden, sodass in der Klassengemeinschaft eine Berichtigung in einem Schüleraustausch stattfinden kann, sodass sich die Lernenden die Aufgaben nochmals gegenseitig erklären können. Je nach Klassengemeinschaft und Fehlerkultur innerhalb der Klasse können die Aufgaben auch unterschiedlich berichtigt werden.

Nach der Reflexion des gesamten Themas sollte nochmals die Zinseszinsrechnung in den Fokus gerückt werden. Dazu bietet es sich an, dass mit der Klasse im Gespräch anhand einer langwierigen Aufgabe eine Abstraktion gefunden wird, die die Rechnung stark verkürzt. Hierfür könnte folgendes Beispiel dienen:

Ein Kapital von K₀ = 5000 € soll für 4 Jahre zu einem Jahreszinssatz von p [%] = 10 % angelegt werden. Das bedeutet, dass nach jedem Jahr ein neues Grundkapital betrachtet werden muss, da die Zinsen addiert werden:

Im Beispiel ergibt sich daraus:

Dies kann auch komprimiert als Gleichung dargestellt werden,

wobei q der Wachstumsfaktor ist. Aus der verkürzten Darstellung eines Jahres, kann eine Gleichung für n Jahre entwickelt werden, hierfür wird zunächst eine Kapitalentwicklung über Jahre betrachtet:

Es ist zwingend erforderlich, dass die Bedeutung der Indizes hervorgehoben werden. Dabei ist auch die Schreibweise von Indizes nochmals besonders hervor zu heben, da die Schülerinnen und Schüler dazu neigen den Index so groß wie die anderen Teile des Terms zu schreiben. Auch neigen sie dazu, dass der Index auf die Höhe des eigentlich näher beschriebenen Platzhalters geschrieben wird.

Anschließend könnte das neue Wissen geübt und dabei auch schon bekannte Aufgabentypen bewältigt werden: Arbeitsblatt 11 und Lösungen 11. Wichtig bei diesem Arbeitsblatt ist, dass hierbei auch einige Aufgaben gestellt wurden, die besonders komplex sind und die Lernenden möglichst intensiv diskutieren lässt und somit eher als Differenzierung nach oben anzusehen sind. Auch noch nicht gemachte Aufgaben von den anderen Arbeitsblättern können in dieser Phase der Unterrichtseinheit nachgeholt werden.

Zum Ende der Unterrichtseinheit sollte noch ein Test geschrieben werden, sodass die Lehrkraft den Schülerinnen und Schülern noch Tipps sowie Nachbereitungsaufgaben mitgeben kann. Ein Test könnte wie folgt aussehen: Mustertest 3 und Mustertestlösungen 3

Bei der Prozentrechnung wird mit dem ‚von‘-Prinzip unter anderem die Basis gelegt für mehrstufige Zufallsexperimente. Auch ist die Zinseszinsrechnung propädeutisch für die Exponentialfunktionen an zu sehen. Gerade im Bezug zum Downloadbalken lassen sich aber auch schon Grundvorstellungen zur Proportionalität aufbauen.