Zuordnungen

Verbindliche Vorgaben der Fachanforderungen: Zuordnungen

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler:

• erkennen und charakterisieren Zuordnungen zwischen Objekten in Tabellen, Diagrammen und Texten

• lösen einfache und komplexe Sachprobleme.

• wechseln situationsgerecht zwischen den Darstellungsformen Tabelle,Graph, Diagramm und Text.

• erstellen und interpretieren einfache Diagramme und Graphen.

• nutzen ein Tabellenkalkulationsprogramm zum Auswerten und Darstellen von Daten.

Verbindliche Themen und Inhalte

• Zuordnungen, auch nichtnumerische

• wachsende Funktionen

• fallende Funktionen

• proportionale Funktionen

• antiproportionale Funktionen

• Dreisatz, Produktgleichheit, Quotientengleichheit, Proportionalitätsfaktor

• Schreibweise „f(x) = …“, sowie die Begriffe, Stelle (Argument) und Wert

• Diagramme

• Graph im Koordinatensystem

• Wertetabellen mit digitalen Werkzeugen

Vorgaben und Hinweise

Beim Darstellen von mathematischen Sachverhalten mit Tabellen kann ein intuitiver Zuordnungsbegriff genutzt werden.

Eine tragfähige Grundvorstellung des Funktionsbegriffs ist durch reichhaltige Situationen aufzubauen und darf nicht durch einen zu schnellen Übergang auf proportionale, lineare und antiproportionale Funktionen abgekürzt werden. Dem erhöhten Abstraktionsgrad sollte hier Rechnung getragen werden.

Die Verwendung der Schreibweise „f(x) = …“ ist verbindlich. Für die Anforderungsebene des Ersten allgemeinbildenden Schulabschlusses hat das Beschreiben in Textform untergeordnete Bedeutung. Beim intuitiven Dreisatz wird der Proportionalitätsfaktor verwendet, aber auf der Anforderungsebene des Ersten allgemeinbildenden Schulabschlusses nicht als Begriff explizit benannt.

Diagramme und Graphen sollen sowohl per Hand als auch computerunterstützt erstellt werden. Auch die Möglichkeiten des wissenschaftlichen Taschenrechners zur automatischen Erstellung von Wertetabellen sollen genutzt werden.

Allgemeine Hinweise

Es sind verschiedenste Dateien verlinkt, die die Unterrichtseinheit unterstützen können. Auch finden sich Links zu weiterführenden didaktischen Texten sowie zu generellem Übungsmaterial in der Handreichung. In der Handreichung können Texte ein- oder ausgefahren werden, indem die Links beziehungsweise die Plussymbole (+) angeklickt werden.

Mit sind Tipps gemeint. Eine Reihe von Tipps sind allgemeingültig, zum Beispiel:

  • Übungsaufgaben können besser bearbeitet werden, wenn die Grundvorstellungen schon aufgebaut wurden.
  • Ein Vokabelheft kann helfen, die Fachsprache zu erlernen. Dabei können die Schülerinnen und Schüler die Erklärungen auch selbst schreiben und mit Beispielen hinterlegen.

Benötigtes Vorwissen

• Säulendiagramme
• Zahlenfolgen
• Koordinatensystem

Vorwissenstest

Um mit den Zuordnungen effektiv beginnen zu können, sollte das Vorwissen in den beschriebenen Bereichen vorhanden sein. Dieses kann im folgenden Test überprüft werden:

Vorwissenstest

Beispiele zu Unterrichtseinheiten

Lernumgebung: Füllstandsgraphen

Es wird Wasser in ein Gefäß gefüllt, die Höhe des Wasserstands in Abhängigkeit von der Wassermenge wird gemessen.
Die Schülerinnen und Schüler erfahren anschaulich den Zusammenhang von Füllhöhe und Füllmenge. Es ist intuitiv klar, dass die Füllhöhe nicht sinken kann, wenn mehr Wasser hinzugegeben wird, das heißt zu jeder Füllmenge gehört genau eine Füllhöhe. Damit ist dieses Beispiel geeignet, um den Begriff der Funktion einzuführen. Verschieden geformte Gefäße führen zu unterschiedlichen Füllstandsgraphen. Hier lassen sich räumliches Vorstellungsvermögen und Volumen propädeutisch erfassen: Bei einem Messzylinder nimmt die Füllhöhe linear mit der Wassermenge zu, bei einem Kegel nimmt die Füllhöhe mit r^3 zu. Während dies für den Messzylinder also schon gut zu beschreiben ist (doppelte Füllmenge ergibt doppelte Füllhöhe), ist für die Kugel zu beschreiben, dass zunächst die Grundfläche mit steigender Höhe zunimmt und damit die Füllhöhe langsamer ansteigt. Der Messzylinder kann als Beispiel für proportionale Zuordnungen genutzt werden (dabei darf dann der Standfuß nicht mitgemessen werden).

Einführung in die Zuordnungen

 

Phase   Orientieren
     
Thema / Inhalt  
  • Vorwissenstest (docx, pdf)
  • Basiswissentest
  • Intuitive Erarbeitung des Zuordnungsbegriffs über die Zuordnung von Bildern (Eindeutigkeit)
  • Fachbegriff Zuordnung einführen
  • Zuordnungen mithilfe von Pfeildiagrammen und Tabellen darstellen, eigene Zuordnungen finden
     
Hinweise  
  • Merkhefteinträge / mitwachsende Mindmap
  • Anknüpfen an Vorwissenstest
  • Tragfähige Kontexte mit Lebensweltbezug wählen (Sport, Schulbasar)
     
Material  

 

 

Phase   Erkunden
     
Thema / Inhalt  
  • Kontext II: Sprungkraftmessung
    • Forscherfrage entwickeln: „Haben große SuS beim Standweitsprung einen Vorteil?“
    • Datenerhebung Person \rightarrow maximale Sprungweite bei 3 Versuchen
    • Austausch über Darstellungsmöglichkeiten der gesammelten Daten
    • Werte in Tabelle und Koordinatensystem eintragen
    • Fragestellung mithilfe der unterschiedlichen Darstellungsarten beantworten, Vor- und Nachteile der Darstellungsarten beurteilen
    • Zusammenhänge beurteilen: kritisches Hinterfragen von Vorhersagen/Prognosen (z.B. wenn ich weiß, wie groß jemand ist, kann ich dann eindeutig sagen, wie weit er springt? Wenn ich weiß, wie schnell jemand auf 100 m läuft, kann ich sagen, wie schnell jemand auf 800 m läuft?)
    • Eindeutigkeit thematisieren (bei welchen Fragen erhalte ich immer genau eine Antwort, bei welchen Fragen kann es mehrere Antworten geben?)
    • Rückschlüsse ziehen (wenn ich die Körpergröße kenne, kann ich dann Rückschlüsse auf die Person ziehen?)
     
Hinweise  
  • Darstellungswechsel (von Text zu Term, Tabelle, Graph) ist wesentlich für den Aufbau von Grundvorstellungen
  • Potentiale und Grenzen
  • Füllstandsgraphen:
    • Eindeutigkeit von Füllmenge und Füllhöhe „je mehr Wasser hinzugekippt wird, desto höher der Wasserstand“
    • Erfassen räumlichen Vorstellungsvermögens bei verschiedenen Gefäßen
  • Sprungkraftmessung:
    • hohe Motivation
    • Alltagsnähe
    • Authentizität von Wettbewerben, da auch hier Wertung des besten Versuches bei 3 Versuchen
    • Problem der Eindeutigkeit bei möglicher Mehrfachmessung Person \rightarrow Standsprungweite; Lösung: maximale Sprungweite bei 3 Versuchen werten
     
Material  
  • AB Füllstandsgraphen
  • Füllkörper (finden sich häufig in der Sammlung), idealerweise Einwegspritzen für ein kleckerfreies Befüllen
  • AB Die Sprungkraft im Standweitsprung messen (docx, pdf)
  • Maßband / Harke

 

 

Phase   Ordnen und Sichern
     
Thema / Inhalt  
  • Erkenntnisse festhalten
  • Fachbegriffe einführen (abhängige Größe, Wertetabelle, Graph, Zuordnung, Eindeutigkeit, Funktion) und mit Hilfe der Beispiele erläutern:
    1. Tabelle ordnet einer (unabhängigen) Größe (x) eine andere (abhängige) Größe (y) zu, Graph stellt die Abhängigkeit dar
    2. Darstellungswechsel nutzen (Pfeildiagramm, Wertetabelle, Punkt- und Liniendiagramm, Text)
    3. Vorteile der Darstellungsarten thematisieren
    4. Funktionale Zusammenhänge erkennen, auf Eindeutigkeit prüfen
     
Hinweise  

3 Aspekte von Funktionen:

  • Zuordnungsänderungsverhalten
  • Kovariation Objektdarstellung
  • Funktion als Ganzes
     
Material  

Classninjas:

 

 

Phase   Üben und Vernetzen
     
Thema / Inhalt  
  • Weitere Beispiele und Kontexte von Zuordnungen behandeln, z.B. Brenndauer einer Kerze, Bewegungsgraphen
    1. Zusammenhänge darstellen
      • Messwerte in eine Wertetabelle, in ein Koordinatensystem eintragen
      • 1. und 2. Achse festlegen
      • Situationen auswählen, wo Punkte miteinander verbunden werden dürfen
    2. Informationen aus Darstellungen entnehmen
      • Wertepaare von Graphen ablesen
      • Vorteile der Darstellungsarten (Text, Tabelle, Graph) benennen
      • Graphen und Situationen einander zuordnen
      • Maßstab und Koordinatensystem vergleichen
      • Darstellungsarten-Spiel (Memory)
      • Graphen kritisch betrachten
    3. Veränderungen am Graphen beschreiben
    4. Funktionale Zusammenhänge untersuchen
      • Funktionale Zusammenhänge in Graphen erkennen (Kreis, Kurve, Gerade, Parabel, Senkrechte, Waagerechte)
      • Funktionale Zusammenhänge in Tabellen erkennen (entscheiden, welche Wertetabellen funktionale Zusammenhänge darstellen)
      • Passende Situationen auswählen (Zusammenhänge rausfinden, welche Zuordnung zu welchem Graphen)
      • Funktionale Zusammenhänge finden (Überprüfen, ob funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Größen vorliegen)
      • sich funktionale Zusammenhänge ausdenken (Situationen ausdenken, die zu einem Graphen passen; Situationen ausführlich beschreiben)
     
Hinweise  
  • Adaptives Lernen mithilfe von Bettermarks; Übungen zu allen drei Aspekten (s. o.)
  • Aufgabenvariationen nutzen \rightarrow geeignet um intensiv und zugleich individuell zu üben; die Methode sollte einmal mit der Klasse besprochen werden, dann können Aufgaben sprachlich und fachlich als Anhaltspunkte genutzt werden, um eigene Aufgaben zu kreieren. Diese Aufgaben können dann gegenseitig gestellt und gelöst werden.

Produktives Spielen

  • Darstellungsartenspiel
  • Fingerrennen
     
Material  

Bettermarks: Buch „Zuordnungen“ Kapitel „1 Grundlagen zu Graphen von Zuordnungen“

 

 

Phase   Reflektieren
     
Thema / Inhalt  
  • Wesentliche Erkenntnisse einordnen, Vorteile der Darstellungsarten (Text, Tabelle, Graph) reflektieren
  • Verortung des Lernstands durch Kompetenzcheck
     
Hinweise  

Hierzu eignen sich Merkhefteinträge oder mitwachsende Mindmaps.

     
Material  

AB Kompetenzaster

 

2. Proportionale Zuordnungen

 

Phase   Orientieren
     
Thema / Inhalt  
  • Verschiedene Rechenwege für Preisberechnungen besprechen, möglicher Kontext: Bälle kaufen
    • Preisliste / Wertetabellen ausfüllen
    • Graph zu Zuordnung finden
    • Gegenbeispiele zeigen und diskutieren
    • Proportionalität verbalisieren: „Wenn ich doppelt so viele Bälle kaufe, zahle ich den doppelten Preis.“
    • Fachsprache: Verdoppelt sich die Ausgangsgröße, verdoppelt sich auch die zugeordnete / abhängige Größe.
     
Hinweise  

-

     
Material  

AB Proportionale Zuordnungen – Einstieg/Erkunden
(docx,pdf)

 

 

Phase   Erkunden
     
Thema / Inhalt  
  • Einzelpreise berechnen, Lösungswege vergleichen
  • Sonderfälle betrachten: gemischte Mengen, Mengenrabatte prüfen
  • Graphen zu proportionalen und nicht-proportionalen Wertetabellen zeichnen und miteinander vergleichen
     
Hinweise  

EIS-Prinzip anwenden: mit Alltagsbeispielen ikonisch starten, dann auf Tabellen symbolisch anwenden.

     
Material  

AB Proportionale Zuordnungen – Stückpreise bestimmen (docx, pdf)

AB Proportionale Zuordnungen II – Testen auf Proportionalität

 

 

Phase   Ordnen und Sichern
     
Thema / Inhalt  
  • Erkenntnisse festhalten, Fachbegriffe ergänzen (Proportionalität, Proportionalitätsfaktor, Quotientengleichheit) und mit Hilfe der Beispiele erläutern
  • Eigenschaften einer proportionalen Funktion thematisieren (verbal im Sachkontext, Tabelle kann wegen Proportionalitätsfaktor ergänzt werden, Graph ist eine Gerade durch den Ursprung)
  • Proportionalität über Quotientengleichheit oder Graph prüfen
  • Zweisatz und Dreisatz thematisieren
     
Hinweise  

-

     
Material  

-

 

 

Phase   Üben und Vernetzen
     
Thema / Inhalt  
  • Tabellen proportionaler Zuordnungen vervollständigen
  • in Sachkontexten, anhand von Tabellen und Graphen begründet entscheiden, ob proportionale Zuordnungen vorliegen
  • Darstellungswechsel durchführen (Tabelle – Graph, Graph – Tabelle)
  • Dreisatz in Sachkontexten anwenden
  • Tabellenkalkulationsprogramme zur Erstellung von Wertetabellen, Graphen und zur Berechnung von Proportionalitätsfaktoren nutzen
     
Hinweise  

Digitales Üben:
In diesem Unterthema bietet sich das digitale Üben besonders an, weil viele symbolisch formale Aspekte im Vordergrund stehen. Dennoch darf das Argumentieren und Kommunizieren nicht vernachlässigt werden.

     
Material  

Bettermarks Buch „Zuordnung“ Kapitel „3 Proportionale Zuordnungen“

 

 

Phase   Reflektieren
     
Thema / Inhalt  
  • Erkennungsmerkmale proportionaler Funktionen reflektieren
  • neue Vokabeln einsortieren
  • eigene Aufgaben erstellen
  • Kompetenzcheck zur Verortung des Lernstandes
     
Hinweise  

Merkhefteinträge / mitwachsende Mindmap ergänzen

     
Material  

AB Kompetenzraster

 

3. Antiproportionale Zuordnungen

 

Phase   Orientieren
     
Thema / Inhalt  

Antiproportionale Zuordnungen anhand tragfähiger Kontexte verbalisieren

  • Kontext (I): Heuvorrat von Pferden
  • Kontext (II): Länge \rightarrow Breite bei fester Fläche
  • Kontext (III): Anzahl Maschinen – Zeit bei fester Produktionsmenge, Abstand – benötigte Anzahl für feste Strecke, Anzahl – Zeit
     
Hinweise  

Potentiale und Grenzen

  • Kontext (I) Heuvorrat von Pferden:

+ überschaubar
+ lebensnah
– eingeschränkter Definitionsbereich (Sinnhaftigkeit halber Pferde)

     
Material  

AB Antiproportionale Zuordnungen – Heuvorrat von Pferden
(docx, pdf)
(Lehrerkommentar)

 

 

Phase   Erkunden
     
Thema / Inhalt  
  • Tabellen für antiproportionale Zuordnungen erstellen
  • passende Koordinatensysteme zeichnen, Werte eintragen
  • Lage der eingetragenen Punkte beschreiben
     
Hinweise  

-

     
Material  

-

 

 

Phase   Ordnen und Sichern
     
Thema / Inhalt  
  • Erkenntnisse festhalten, Fachbegriffe Produktgleichheit, Hyperbel ergänzen
  • Eigenschaften einer antiproportionalen Funktion sammeln (verbal im Sachkontext „je mehr, desto weniger“, Tabelle und Graph)
  • Zweisatz und Dreisatz thematisieren
     
Hinweise  

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Material  

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Phase   Üben und Vernetzen
     
Thema / Inhalt  
  • Tabellen antiproportionaler Zuordnungen vervollständigen
  • In Sachkontexten, anhand von Tabellen und Graphen, begründet entscheiden, ob antiproportionale, proportionale oder andere Zuordnungen vorliegen
  • Darstellungswechsel durchführen (Tabelle – Graph, Graph – Tabelle)
  • Dreisatz in Anwendungsaufgaben anwenden
     
Hinweise  

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Material  

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Phase   Reflektieren
     
Thema / Inhalt  
  • Erkennungsmerkmale antiproportionaler Funktionen reflektieren
  • neue Vokabeln einsortieren
  • eigene Aufgaben erstellen
  • Kompetenzcheck zur Verortung des Lernstandes
     
Hinweise  

Merkhefteinträge / mitwachsende Mindmap ergänzen

     
Material  

AB Kompetenzcheck

 

Nützliche Links

Schupp, Schmidet, Knichel, Schuler: Aufgabenvariation http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/fileadmin/MaterialienDB/47/aufgabenvariation1.pdf

Roth: Grundvorstellungen zu funktionalen Zusammenhängen erarbeiten: https://docplayer.org/83477577-Juergen-roth-roth-tel-juergen-roth-grundvorstellungen-zu-funktionalen-zusammenhaengen-erarbeiten.html

Roth: Funktionales Denken förder: https://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/2019/Lichti_Roth_2019_Funktionales_Denken_foerdern.pdf